浙江省宁波六校联盟2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题

2021学年第二学期宁波六校联盟期中联考 高一年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分（共60分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分． 1．已知向量，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知，若（i为虚数单位），则x的值为（ ） A． B．1 C． D．2 3．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ） A．8 B． C．16 D． 4．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B． C． D． 5．已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（ ） A．2 B． C． D．1 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则当角C取得最大值时，三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，在中，已知，线段AM和BN交于点P，则的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知为平面内两个不共线的向量，满足，则与的夹角的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．下列命题中为假命题的是（ ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 10．已知复数（i为虚数单位），若为实数．则（ ） A． B． C．为纯虚数 D．复数在复平面内对应的点位于第四象限 11．已知的重心为G，点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则当取得最小值时， 12．已知点A，B，C，D是半径为2的球面上不共面的四个点，且，则四面体ABCD体积的值可能为（ ） A．3 B．4 C． D．6 非选择题部分（共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，若，则实数____________． 14．设复数满足（i为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第一象限，则____________． 15．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且，若，则实数的最小值为____________． 16．已知中，，且的最小值为，则____________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知复数（i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点的坐标满足方程． （I）求实数a的值； （Ⅱ）若向量与复数z对应，把绕原点按顺时针方向旋转，得到向量．求向量对应的复数（用代数形式表示）． 18．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，，侧面的中心为O，点E是侧棱上的一个动点． （I）求直三棱柱的侧面积； （II）证明：三棱锥的体积为定值． 19．（本题满分12分）已知点，O为坐标原点，函数． （I）求函数的解析式和最小正周期； （Ⅱ）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，D为的角平分线与边BC的交点，，若，且角A为锐角，求面积． 20．（本题满分12分）如图，在平行四边形ABCD中，，E为CD中点，且，（）． （I）若，求实数的值； （II）求的取值范围． 21．（本题满分12分）如图，某专用零件四边形ABCD由平面图是一个半圆形钢板切割而成，其中O为圆心，，OC平分角交圆于点C，D为圆弧上一点，设． （I）当时，求该零件的面积； （II）若该零件周长为函数，且恒成