7.1 条件概率与全概率公式（学案）-【成才之路】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册新课程同步学习指导（人教版）

新教材·高中新课程学习指导 第七章　 随机变量及其分布列 7. 1　 条件概率与全概率公式 7. 1. 1　 条件概率 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 (1)P(B |A) = P(AB)P(A) 思考:P(B |A)是指在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的 概率,而 P(A |B)是指在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概 率,因此 P(B |A)和 P(A |B)的意义不同. 关键能力·攻重难 　 　 典例试做 1:由古典概型的概率公式可知 (1)P(A) = 25 , P(B) = 2 × 1 + 3 × 25 × 4 = 8 20 = 2 5 , P(A∩B) = 2 × 15 × 4 = 1 10 . (2)P(B |A) = P(A∩B)P(A) = 1 10 2 5 = 14 . 　 　 对点训练 1:(1)令事件 A = {取得蓝球},B = {取得蓝色 E 型玻璃球} . 解法一:∵ P(A) = 1116,P(A∩B) = 4 16 = 1 4 , ∴ P(B |A) = P(A∩B)P(A) = 1 4 11 16 = 411 . 解法二:∵ n(A) = 11,n(A∩B) = 4, ∴ P(B |A) = n(A∩B)n(A) = 4 11 . 　 　 典例试做 2:设“取到的产品是一等品”为事件 A,“取到的 产品是合格品”为事件 B,则 P(A |B) = 45% ,P(B) = 4% , 于是 P(B) = 1 - P(B) = 96% , 故由题可得 P(A) = P(AB) = P(B)P(A | B) = 96% × 45% = 43. 2% . 　 　 对点训练 2:0. 72　 记“种子发芽”为事件 A,“种子长成幼 苗”为事件 AB(发芽,又成活),出芽后的幼苗成活率为P(B |A) = 0. 8,又 P(A) = 0. 9. 故 P(AB) = P(B |A)·P(A) = 0. 72. 　 　 典例试做 3:记 Ai 为第 i 次取到一等品,其中 i = 1,2. (1)两次都取得一等品的概率为 P(A1A2) = P(A1)·P(A2 | A1) = 3 5 × 2 4 = 3 10 . (2)第二次取得一等品,则第一次可能取到一等品,也可能 取到二等品,则 P(A2) = P(A1A2) + P(A1A2) = 2 5 × 3 4 + 3 5 × 2 4 = 3 5 . (3)已知第二次取得一等品,则第一次取得二等品的概率 为 P(A1 |A2) = P(A1A2) P(A2) = 2 5 × 3 4 3 5 = 12 . 　 　 对点训练 3:设“该考生 6 道题全答对”为事件 A,“该考生 恰好答对了 5 道题”为事件 B,“该考生恰好答对了 4 道题”为事 件 C,“该考生在这次考试中通过”为事件 D,“该考生在这次考 试中获得优秀”为事件 E,则 D = A∪B∪C,E = A∪B,且 A,B,C 两两互斥,由古典概型的概率公式知 P(D) = P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) = C610 C620 + C510C110 C620 + C410C210 C620 = 12 180 C620 , 又 AD = A,BD = B, 所以 P(E |D) = P((A∪B) |D) = P(A |D) + P(B |D) = P(AD)P(D) + P(BD) P(D) = P(A)P(D) + P(B) P(D) = C610 C620 12 180 C620 + C510C110 C620 12 180 C620 = 1358 . 　 　 典例试做 4:记“第一次取到白球”为事件 A,“第二次取到 黄球”为事件 B,“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄 球”为事件 C. 在事件 A 已经发生的条件下,袋中只有 9 个球,其中 3 个白 球,故此时取到黄球的概率为 P(C) = P(B | A) = 69 = 2 3 或者 P(C) = P(B |A) = P(AB)P(A) = 4 15 2 5 = 23 . 课堂检测·固双基 1. A　 设 A 为事件“数学不及格”,B 为事件“语文不及格”, P(B |A) = P(AB)P(A) = 0. 03 0. 15 = 1 5 ,所以当数学不及格时,该学生 语文也不及格的概率为 15 . 2. B　 因为第一名同学没有抽到中奖券,所以问题变为 3 张奖 券,1 张能中奖,最后一名同学抽到中奖券的概率显然是 13 . 3. C　 P(A |B) = P(AB)P(B) = 0. 12 0. 18 = 2 3 , P(B |A) = P(AB)P(A) = 0. 12 0.