6.3 二项式定理（学案）-【成才之路】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册新课程同步学习指导（人教版）

新教材·高中新课程学习指导 按照解第(1)小问的方法,可得有 C212 = 66(种)分法. 如图是其中一种分法,表示分给 1 班、2 班、3 班的名额分别 是 3 - 1 = 2(个),6 - 1 = 5(个),4 - 1 = 3(个) . 　 　 对点训练 4:(1)A　 先给每个小朋友分三个苹果,剩余 18 个 苹果利用“隔板法”,18 个苹果有 17 个空,插入三个“板”,共有 C317 =680 种方法,故有 30 个完全相同的苹果,分给 4 个不同的小 朋友,每个小朋友至少分得 4 个苹果,有 680 种不同的分配方案. (2)B　 根据题意,分 2 步进行分析: ①将 5 名医学专家分为 3 组,若分为 2、2、1 的三组,有 C25C23 2 = 15 种分组方法,若分为 3、1、1 的三组,有 C35 =10 种分组方法. 则有 15 + 10 = 25 种分组方法; ②将分好的三组分派到三个医疗点,甲专家所在组不去 A 医疗点,有 2 种情况,再将剩下的 2 组分派到其余 2 个医疗点, 有 2 种情况,则 3 个组的分派方法有 2 × 2 = 4 种情况,则有 25 × 4 = 100 种分配方法. 　 　 典例试做 6:144　 由题意知,必有 1 个盒子内放入 2 个小 球. 从 4 个小球中取出 2 个小球,有 C24 种取法,此时把它看作 1 个小球,与另 2 个小球(共 3 个小球)分别放入 4 个盒子中,有 A34 种放法,所以满足题意的放法有 C24A34 = 144(种)或 C34C24A33 = 144. 课堂检测·固双基 1. C　 分两类:一类是 2 个白球有 C26 = 15 种取法,另一类是 2 个 黑球有 C24 = 6 种取法,所以取法共有 15 + 6 = 21(种) . 2. D　 分两类:第一类,A,B 只有一个选中,则不同演出顺序有 C12·C25·A33 = 120 种情况; 第二类:A,B 同时选中,则不同演出顺序有种 C15·A22 =10, 故不同演出顺序的种数为 120 + 10 = 130,故选 D. 3. A　 人数分配上有 1、1、3 与 1、2、2 两种方式,若是 1,1,3,则 有 C35C12C11 A22 × A33 = 60(种),若是 1、2、2,则有 C15C24C22 A22 × A33 = 90 (种),所以共有 150 种,选 A. 4. B　 事件甲发生的概率 P (甲) = 16 ,事件乙发生的概率 P(乙) = 16 ,事件丙发生的概率 P(丙) = 5 6 × 6 = 5 36,事件丁 发生的概率 P(丁) = 66 × 6 = 1 6 . 事件甲与事件丙同时发生的 概率为 0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故 A 错误;事件甲与事件 丁同时发生的概率为 16 × 6 = 1 36,P(甲丁) = P(甲)P(丁),故 B 正确;事件乙与事件丙同时发生的概率为 16 × 6 = 1 36,P(乙 丙)≠P(乙)P(丙),故 C 错误;事件丙与事件丁是互斥事件, 不是相互独立事件,故 D 错误. 选 B. 5. 10　 先把 6 本书并成一排,它们之间有 5 个空,在 5 个空中选 出 3 个空放上“隔板” . 6 本书被分成了 4 组,4 组书的本数也 恰好对应一种放书的方法,共有 C35 = 10(种) . 6. 3　 二项式定理 6. 3. 1　 二项式定理 必备知识·探新知 　 　 知识点 1 　 C0nan + C1nan - 1 b1 + … + Cknan - k bk + … + Cnnbn 　 Cknan - kbk 思考 1:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念. 二项式系数是指 C0n,C1n,…,Cnn,而项的系数是指该项中除 了变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与 a,b 的值有关. 思考 2:不同. (a + b) n 展开式中第 k + 1 项为 Cknan - k bk,而 (b + a) n 展开式中第 k + 1 项为 Cknbn - kak . 关键能力·攻重难 　 　 典例试做 1: (1) 原式 = C05 ( x - 1) 5 + C15 ( x - 1) 4 + C25(x - 1) 3 + C35(x - 1) 2 + C45(x - 1) + C55 - 1 = [(x - 1) + 1] 5 - 1 = x5 - 1. (2)方法一: 2x - 32x2( ) 5 = C05(2x) 5 - 3 2x2( ) 0 + C15(2x) 4 - 3 2x2( ) 1 + C25(2x) 3 - 3 2x2( ) 2 + C35(2x) 2 - 3 2x2( )