6.2 排列与组合（学案）-【成才之路】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册新课程同步学习指导（人教版）

新教材·高中新课程学习指导 再种②号田,可种植 b 或 c,有 2 种种植方法,不妨设种植 b. 若③号田种植 c,则④⑤号田分别有 2 种种植方法,则不同 的种植方法共有 2 × 2 = 4(种) . 若③号田种植 a,则④号田可种植上 b 或 c. (1)若④号田种植 c,则⑤号田有 2 种种植方法; (2)若④号田种植 b,则⑤号田只能种植 c,有 1 种种植 方法. 综上所述,不同的种植方法共有 3 × 2 × (4 + 2 + 1) = 42 (种) . 　 　 典例试做 4:64　 由题知,研究的对象是“3 门学科”,只有 3 门学科各产生 1 名冠军,才算完成了这件事,而 4 名同学不一定 每人都能获得冠军,故完成这件事分三步. 第一步,产生第 1 个学科冠军,它一定被其中 1 名同学获 得,有 4 种不同的获得情况; 第二步,产生第 2 个学科冠军,因为夺得第 1 个学科冠军的 同学还可以去争夺第 2 个学科的冠军,所以第 2 个学科冠军也 是由 4 名同学去争夺,有 4 种不同的获得情况; 第三步,同理,产生第 3 个学科冠军也有 4 种不同的获得 情况. 由分步乘法计数原理知,不同的冠军获得情况共有4 × 4 × 4 = 64(种) . 课堂检测·固双基 1. D　 分两步,第一步,从物理、化学、生物 3 科中任选 2 科,有 3 种选法,第二步,从政治、历史、地理 3 科中任选 1 科,有 3 种 选法. 根据分步乘法计数原理可得不同选法共有 3 × 3 = 9 (种) . 2. B　 因为 P⊆Q,所以分两类. 当 x = 2 时,y∈{3,4,5,6,7,8, 9},所以点的个数为 7;当 x≠2 时,x = y∈{3,4,5,6,7,8,9}, 所以点的个数为 7. 则满足题意的点共有 14 个. 3. C　 第 1 封信投到信箱中有 4 种投法; 第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法; 第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法. 只要把这 3 封信投完,就做完了这件事,由分步乘法计数原理 可得共有 43 种投法. 4. B　 根据题意,需分两类解决: 第一类,万位填 4 时,比 40 000 大的偶数有 2 × 4 × 3 × 2 = 48 (个); 第二类,万位填 5 时,比 40 000 大的偶数有 3 × 4 × 3 × 2 = 72 (个) . 根据分类加法计数原理,可知比 40 000 大的偶数共有 48 + 72 = 120(个) . 5. 9　 20　 根据分类加法计数原理知,从中任选 1 人参加学科竞 赛,不同的选派方法共有 4 + 5 = 9 种;由分步乘法计数原理 知,从中任选 1 名女同学和 1 名男同学参加学科竞赛,不同的 选派方法共有 4 × 5 = 20 种. 6. 2　 排列与组合 6. 2. 1　 排　 列 6. 2. 2　 排 列 数 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 (1)一定的顺序　 (2)m = n　 (3)取出所有元素 思考 1:两个排列相同则应具备排列的元素及排列的顺序 均相同. 知识点 2　 所有排列　 Amn 　 n(n - 1)(n - 2)…(n - m + 1) 　 n·(n - 1)·(n - 2)·…·2·1　 n! 　 1　 1　 Amn + 1 思考 2:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,“排列”是 指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序 排成一列”,它不是数,而是具体的一件事;而“排列数”是上述 完成这件事所有不同的排列个数,它是一个数. 关键能力·攻重难 　 　 典例试做 1:(1)不是;(2)是;(3)第一问不是,第二问是; (4)是;(5)是. 理由是:(1)(2)中由于加法运算满足交换律,所以选出的 两个元素做加法时,与两元素的顺序无关,但做除法时,两元素 谁作除数,谁作被除数不一样,此时与顺序有关,故做加法不是 排列问题,做除法是排列问题. (3)中选座位与顺序无关,“入 座”问题,与顺序有关,故选 3 个座位安排三位客人是排列问 题. (4)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不 同的,存在顺序问题,属于排列问题. (5) A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题. 　 　 对点训练 1:(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数 作横坐标,哪一个数作纵坐标的顺序有关,所以这是一个排到 问题. (2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式 不用考虑两人的顺序,所以这不是排列问题. (3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列 问题. 综上,(1)(3)是排列问题,(2)不是排列问题. 　 　 典例试做 2:A315 =