6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（学案）-【成才之路】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册新课程同步学习指导（人教版）

数学（选择性必修·第三册 RJA） 学案部分　 详解答案 [学案部分] 第六章　 计数原理 6. 1　 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 N = m + n 思考 1:(1)能,每一类中的每一种方法都能独立完成这 件事. (2)各种方案之间相互独立,并且任何一类方案中任何一 种方法也相互独立. 知识点 2　 m × n 思考 2:(1)不能,每一步中的每一种方法都不能独立完成 这件事. (2)从计数上看,各步的方法数的积就是完成这一件事的 方法总数. 思考 3:分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件 事情,而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件 事情. 关键能力·攻重难 　 　 典例试做 1:方法一:按十位上的数字分别是 1,2,3,4,5,6, 7,8 分成八类,在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个、7 个、 6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个. 由分类加法计数原理知,满足条件的两位数的个数是 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36. 方法二:按个位上的数字分别是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成八 类,在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个、2 个、3 个、4 个、 5 个、6 个、7 个、8 个. 由分类加法计数原理知,满足条件的两位数的个数是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36. 方法三:考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系, 利用对应思想解决. 所有的两位数共有 90 个,其中个位数字等于十位数字的两 位数为 11,22,33,…,99,共 9 个. 个位数字与十位数字不能调换 位置的两位数为 10,20,30,…,90,共 9 个. 剩余的 72 个两位数 中,将每一个“个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数”的个 位数字与十位数字调换位置后,都有一个“个位数字(b)大于十 位数字(a)的两位数”与其对应,故满足条件的两位数的个数是 72 ÷ 2 = 36. 　 　 对点训练 1:(1)B　 若 4 本中有 3 本语文参考书和 1 本数 学参考书,则有 4 种方法,若 4 本中有 1 本语文参考书和 3 本数 学参考书,则有 4 种方法,若 4 本中有 2 本语文参考书和 2 本数 学参考书,则有 6 种方法,若 4 本都是数学参考书,则有一种方 法,所以不同的赠选方法共有 4 + 4 + 6 + 1 = 15(种) . (2)56　 完成这件事需要分两类完成:第一类:选 1 名男 生,有 38 种选法;第二类:选 1 名女生,有 18 种选法,根据分类 加法计数原理,共有 N = 38 + 18 = 56(种)不同的选法. 　 　 典例试做 2:(1)分三步完成. 第一步:排百位,1,2,3 三个数字都可以,有 3 种不同的 方法; 第二步:排十位,除百位上已用的,其余三个数字都可以,有 3 种不同的方法; 第三步:排个位,除百位、十位上已用的,其余两个数字都可 以,有 2 种不同的方法. 故可组成无重复数字的三位数共 3 × 3 × 2 = 18(个) . (2)分三步完成. 第一步:排百位,1,2,3 这三个数字都可以,有 3 种不同的 方法; 第二步:排十位,0,1,2,3 这四个数字都可以,有 4 种不同 的方法; 第三步:排个位,0,1,2,3 这四个数字都可以,有 4 种不同 的方法. 故可组成可以有重复数字的三位数共 3 × 4 × 4 = 48(个) . 　 　 对点训练 2:(1)A　 第一名同学有 5 种选择方法,第二名也 有 5 种选择方法,…,依次,第六名同学有 5 种选择方法,综上,6 名同学共有 56 种不同的选法. (2)900　 第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相 同,有 9 种选法;第二步,选左边第二个数字和右边第二个数字 相同,有 10 种选法;第三步,选左边第三个数字就是右边第三个 数字,有 10 种选法,故 5 位回文数有 9 × 10 × 10 = 900,故答案 为 900. 　 　 典例试做 3:(1)从高一选 1 人作总负责人有 50 种选法;从 高二选 1 人作总负责人有 42 种选法;从高三选 1 人作总负责人 有 30 种选法. 由分类加法计数原理,可知共有 50 + 42 + 30 = 122 (种)选法. (2)从高一选 1 名负责人有 50 种选法;从高二选 1 名负责 人有 42 种选法;从高三选 1 名负责人有 30 种选法. 由分步乘法 计数原理,可知共有 50 × 42 × 30 = 63 000(种)选法. (3)①高一和高二各选 1 人作为中心发言人,有50 × 42 = 2 100(种