第六章习题课 组合数的综合应用（学案）-【成才之路】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册新课程同步学习指导（人教版）

数学（选择性必修·第三册 RJA） 改为计算 Cn - mn ,这样可以减少计算量;第二个性质是根据需要 将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个 组合数,在解题中要注意灵活运用. 关键能力·攻重难 　 　 典例试做 1:D　 组合问题与顺序无关,排列问题与顺序有 关,D 选项中,选出的 2 名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱,乙 参加独舞”与“乙参加独唱,甲参加独舞”是两个不同的选法,因 此是排列问题,不是组合问题,选 D. 　 　 对点训练 1:解法一:可按 AB→AC→AD→BC→BD→CD 的 顺序写出,即 　 　 ∴ 所有组合为 ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE, BDE,CDE. 解法二:画出树形图,如图所示. ∴ 所有组合为 ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE, BDE,CDE. 　 　 典例试做 2:D　 (1)分式的分母是 100!,分子是 101 个连 续自然数的乘积,最大的为 n + 100,最小的为 n, 故n(n + 1)(n + 2)…(n + 100)100! = 101·n(n + 1)(n + 2)…(n + 100)101! = 101C101n + 100 . (2)解:由组合数定义知: 0≤5 - n≤n, 0≤9 - n≤n + 1,{ 所以 4≤n≤5,又因为 n∈N∗, 所以 n = 4 或 5. 当 n = 4 时,C5 - nn + C9 - nn + 1 = C14 + C55 = 5; 当 n = 5 时,C5 - nn + C9 - nn + 1 = C05 + C46 = 16. 　 　 对点训练 2:(1)原式 = C38 + C2100 × 1 = 8 × 7 × 6 3 × 2 × 1 + 100 × 99 2 × 1 = 56 + 4950 = 5006. (2)原方程可化为 m! (5 - m)! 5! - m! (6 - m)! 6! = 7 × (7 - m)! m! 10 × 7! 即m! (5 - m)!5! - m! (6 - m)(5 - m)! 6 × 5! = 7 × m! (7 - m)(6 - m)(5 - m)!10 × 7 × 6 × 5! . ∴ 1 - 6 - m6 = (7 - m)(6 - m) 60 , 即 m2 - 23m + 42 = 0,解得 m = 2 或 21. 而 0≤m≤5,m = 2. ∴ Cm8 = C28 = 28. 　 　 典例试做 3:(1)C　 C34 + C35 + C36 +… + C32020 = C44 + C34 + C35 + C36 +… + C32020 - C44 = C45 + C35 +… + C32020 - 1 =… = C42020 + C32020 - 1 = C42021 - 1. (2)2 或 4　 由 C2x - 18 = Cx + 38 得 2x - 1 = x + 3 或 2x - 1 + x + 3 = 8,解得 x = 4 或 x = 2. (3)由组合数的性质 Cmn + 1 = Cmn + Cm - 1n 可知, 右边 = (Cnm + Cn - 1m ) + (Cn - 1m + Cn - 2m ) = Cnm + 1 + Cn - 1m + 1 = Cnm + 2 =左边, 右边 =左边,所以原式成立. 　 　 对点训练 3:(1)原式 = 2(C05 + C15 + C25 ) = 2(C16 + C25 ) = 2 6 + 5 × 42 × 1( ) = 32. (2)由排列数和组合数公式,原方程可化为 3· (x - 3)!(x - 7)! 4! = 5· (x - 4)! (x - 6)!, 则3(x - 3)4! = 5 x - 6,即为(x - 3)(x - 6) = 40. ∴ x2 - 9x - 22 = 0, 解之可得 x = 11 或 x = - 2. 经检验知 x = 11 是原方程的根,x = - 2 是原方程的增根. ∴ 方程的根为 x = 11. 　 　 典例试做 4:2 520　 正解一:先从 10 人中选出 2 人参加会 议甲,再从余下 8 人中选出 1 人参加会议乙,最后从剩下的 7 人 中选出 1 人参加会议丙. 根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有 C210C18C17 = 2 520(种) . 正解二:先从 10 人中选出 2 人参加会议甲,再从余下 8 人 中选出 2 人分别参加会议乙、丙. 根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有 C210 A28 = 2 520(种) . 课堂检测·固双基 1. C　 由 Cm8 = C2m -