练案7 6.3.2 二项式系数的性质-【成才之路】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册新课程同步学习指导（人教版）

▲ 153 ▲ ▲ 154 ▲ 　 　 　 　 　 练案及考案部分 　 　 　 　 　 　 详解答案 [练案部分] 练案[1] A 组·素养自测 1. C　 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为 6 × 8 = 48,故选 C. 2. A　 分类考虑,若最少一堆是 1 个,那由至多 5 个知另两堆分别为 4 个、5 个,只有一种分法;若最少一堆是 2 个,则由 3 + 5 = 4 + 4 知有 2 种分法;若最少一堆是 3 个,则另两堆为 3 个、4 个,故共有 分法 1 + 2 + 1 = 4 种. 3. C　 解法一:分两种情况: (1)A,C 不同色,先涂 A 有 4 种,C 有 3 种,E 有 2 种,B,D 各有 1 种,由分步乘法计数原理知有 4 × 3 × 2 = 24 种. (2)A,C 同色,先涂 A 有 4 种,E 有 3 种,B,D 各有 2 种,由分步乘 法计数原理知有 4 × 3 × 2 × 2 = 48 种. 由分类加法计数原理知,共有 72 种,故选 C. 解法二:先涂 A,有 4 种涂法,再涂 B,D,①若 B 与 D 同色,则 B 有 3 种,E 有 2 种,C 有 2 种,共有 4 × 3 × 2 × 2 = 48 种; ②若 B 与 D 不同色,则 B 有 3 种,D 有 2 种,E 有 1 种,C 有 1 种, 共有 4 × 3 × 2 × 1 × 1 = 24 种, 由分类加法计数原理知,共有不同涂法 48 + 24 = 72 种. 4. B　 首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球,这样剩下三个 足球,这三个足球可以随意放置,第一种方法,可以在每一个箱子 中放一个,有 1 种结果;第二种方法,可以把球分成两份,1 和 2, 这两份在三个位置,有 3 × 2 = 6 种结果;第三种方法,可以把三个 球都放到一个箱子中,有 3 种结果. 综上可知共有 1 + 6 + 3 = 10 种结果. 5. ABD　 对于选项 A,2 封信需分 2 步随意投入 4 个邮箱,只有当 2 步都完成才算完成,是一个分步乘法计数问题,故 A 正确;对于选 项 B,能够被 5 整除的数可分成末位数字是 0 和 5 两类,是一个分 类加法计数问题,故 B 正确;对于选项 C,由分类加法计数原理, 共有 4 + 3 = 7 种选法,故 C 错误;对于选项 D,∵ a,b 互不相等且 a + bi为虚数,∴ b 只能从{1,2,3,4,5,6}中选一个,有 6 种选法, a 从剩余的 6 个中选一个,也有 6 种选法,∴ 根据分步乘法计数原 理知虚数有 6 × 6 = 36 个,故 D 正确. 故选 ABD. 6. 8　 要完成“从 4 名操作人员中选 3 人分别去操作这三种型号的 电脑”这件事,可分四类:第一类,选甲、乙、丙 3 人,由于丙不会操 作 C 型号的电脑,故有 2 × 2 × 1 = 4(种)选派方法;第二类,选甲、 乙、丁 3 人,由于丁只会操作 A 型号的电脑,故有 2 种选派方法; 第三类,选甲、丙、丁 3 人,这时只有 1 种选派方法;第四类,选乙、 丙、丁 3 人,同样也只有 1 种选设方法. 根据分类加法计数原理, 知共有 4 + 2 + 1 + 1 = 8(种)选派方法. 7. 72　 由题意知本题是一个分步计数问题,设 5 个志愿者为甲、乙、 丙、丁、戊. 甲在 A,B,C,D 四个岗位中选一个,有 4 种选择;乙在 剩下的 3 个岗位中选一个,有 3 种选择. 丙、丁、戊三人只能选择 剩下的两个岗位,每人有 2 个选择,总共有 2 × 2 × 2 = 8 种选择, 这 8 种里要去掉 3 个人都选择同一个地方的情况,即有 8 - 2 = 6 种选择,∴ 所求方法数为 4 × 3 × 6 = 72. 8. 420　 要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”,所以 千位数字不能为 0,个位数字必须是偶数,且组成的四位数中的四 个数字不重复. 因此应先分类,再分步. 第 1 类,当千位数字为奇数,即取 1,3,5 中的任意一个时,个位数 字可取 0,2,4,6 中的任意一个,百位数字不能取与这两个数字重 复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字. 根据分步 乘法计数原理,取法有 3 × 4 × 5 × 4 = 240(种) . 第 2 类,当千位数字为偶数,即取 2,4,6 中的任意一个时,个位数 字可以取除千位数字外任意一个偶数数字,百位数字不能取与这 两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数 字. 根据分步乘法计数原理,取法有 3 × 3 × 5 × 4 = 180(种) . 根据分类加法计数原理,可以组成无重复数字的四位偶数有 240 + 180 = 4