第三章 第3讲 函数的奇偶性与周期性-【金版教程】2023高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，新高考题型版）

第3讲　函数的奇偶性与周期性 第三章　函数与指数函数、对数函数、幂函数 1 基础知识整合 PART ONE －x∈I f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 原点 y轴 x＋T∈D f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 1．函数奇偶性的六个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数． (6)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 1．(2021·海淀区校级模拟)下列函数中值域为R且为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝log2|x| C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝cosx 解析　f(x)＝x2＋1，值域为[1，＋∞)，不符合题意；f(x)＝log2|x|为偶函数，值域为R，符合题意；f(x)＝x3－x为奇函数，不符合题意；f(x)＝cosx的值域为[－1,1]，不符合题意．故选B. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x2－x，则当x>0时，f(x)＝(　　) A．2x2－x B．2x2＋x C．－2x2－x D．－2x2＋x 解析　当x>0时，－x<0，f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2x2－x.故选C. 答案 解析 5. 设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________. 答案　[－5，－2)∪(2,5] 解析　由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2,5]． 答案 解析 6．(2021·山东威海月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2023)＝________. 答案　－1 解析　因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 答案 解析 2 核心考向突破 PART TWO 考向一　函数奇偶性的判断 解 (3)解法一：(定义法) 当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1， －x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1， －x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 解 解法二：(图象法) 作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数． (4)因为f(x)的定义域为[－1,4]不关于原点对称， 所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数． 解 解 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： f(x) g(x) f(x)＋g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． f(x) g(x) f(x)＋g(x) 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶