第03讲 异面直线所成的角（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第03讲异面直线所成的角（核心考点讲与练） ( 方法 技巧 ) 求异面直线所成的角的三步曲 ( 考点 考向 ) 异面直线所成角的概念及辨析 一、单选题 1．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）已知异面直线a、b所成角为，P为空间一定点，则过P点且与a、b所成角都是的直线有且仅有（       ）条． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】在空间取一点，经过点P分别作，分析直线满足它的射影在所成角的平分线上时的情况可得出答案. 【详解】在空间取一点，经过点P分别作， 设直线确定平面， 当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角， 因为直线a、b所成角为，得所成锐角为， 所以当直线的射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是， 这种情况下，过P点有2条直线与a、b所成角都是； 当直线的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是， 这种情况下，过P点有且仅有1条直线（即时）与a、b所成角都是； 综上所述，过P点且与a、b所成角都是的直线有3条. 故选：B. 2．（2021·上海市延安中学高二期中）已知正方体，P为中点，对于下列两个命题：（1）过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交；（2）过点P有且只有一条直线与直线AB，都成45°角．则以下判断正确的是（       ） A．（1）为真命题；（2）为真命题 B．（1）为真命题；（2）为假命题 C．（1）为假命题；（2）为真命题 D．（1）为假命题；（2）为假命题 【答案】B 【分析】作出过与两直线相交的直线判断①；通过平移直线，，结合异面直线所成角的概念判断②． 【详解】解：直线与 是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示： 取的中点，则，且，设与交于，则点、、、、共面， 直线必与 相交于某点，则过点有且只有一条直线与、都相交，故①为真命题； 分别平移，，使与均经过，则有两条互相垂直的直线与，，都成角，故②为假命题． ①为真命题，②为假命题． 故选：B 二、填空题 3．（2021·上海·位育中学高二阶段练习）空间中三条直线两两垂直，若直线与直线所成角都为，则_______ 【答案】 【分析】因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体中同一顶点的三条棱，，，由此能够求出． 【详解】因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体中同一顶点的三条棱，，，如图： 直线与这三条直线所成的角都为， ， 从而． 故答案为：． 4．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知直线．如果直线同时满足条件：①与异面；②与成定角；③与的距离为定值．那么这样的直线有__________条． 【答案】无数 【分析】作出两个平行平面，两条异面直线分别在两个平面上判断. 【详解】如图所示： ，异面， 则平面内任意一条与平行的直线都满足要求， 故答案为：无数 5．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若两异面直线、所成的角为，过空间内一点作与直线、所成角均是的直线，则所作直线的条数为_________． 【答案】 【分析】利用异面直线所成的角的概念，平移两直线、，可知当为的角平分线符合题意，把的角平分线旋转可得符合题意的两条直线，即可求解. 【详解】 如图，将直线平移与直线相交于点， 因为直线、所成的角为，则其补角为， 当直线过点且为其补角的角平分线时，直线与、所成角均是， 设的角平分线为，把绕点旋转，且在旋转的过程中保持与、所成角均是， 上下旋转各能得到一个位置，使得与、所成角均是， 所以共有条直线符合题意， 故答案为：. 证明异面直线垂直 一、单选题 1．（2017·上海交大附中高二期中）如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（ ） ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC； ②平面SBC内存在直线与SA平行 ③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行； ④存在点E使得SE⊥BA． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查空间中的折叠问题，涉及线面垂直，面面垂直，线面平行，线线平行垂直的判定与性质，属综合性题目，难度中上. 【详解】对于命题①,若直线SA⊥平面SBC,则SA⊥BC, 又∵平面 SAE⊥ 平面 ABCE , 故在平面ABCE中作BH⊥AE与H, 则BH⊥平面SAE, ∴BH⊥SA, 又∵BH∩BC=H,BH、BC⊂平面ABCE, ∴SA⊥平面ABCE, ∴SA⊥AE,即∠SAE是直角, 但是∠SAE即折叠之前的∠DAE,在折叠前后保持不变,始终是锐角, 所以命题①不正确； 若SE⊥BC,同样由于BH⊥平面SAE,可得BH⊥SE, 进而同上得到SE⊥平面ABCE,得到∠SEA为直角，