专题二 构造等腰三角形的常用方法-2021-2022学年八年级下册初二数学【多维课时练】教师用书（北师大版）

专题二构造等腰三角形的常用方法 型①利用平行线构造等腰三角形 .∠ABD=∠DBC 1.已知，如图，在△ABC中，AB=AC,点D在 ∴.∠M=∠ABD, AB上，点E在AC延长线上，且BD=CE,连 .AM =AB. 接DE交BC于点F.求证：DF=EF .AM∥EF,.∠M=∠DFE, 证明：方法一：如图1，过点 又.·AD=DE,∠ADM=∠FDE D作DN∥AE,交BC于点 ∴.△ADM≌△EDF(AAS),∴.EF=AM, N,则∠DNB=∠ACB,E .AB EF. ∠NDE=∠E, 堡塑②截长补短构造等腰三角形 AB=AC,∴.∠B=∠ACB, 3.如图，在等边三角形ABC中，点D为边BC .∠B=∠DNB,∴.BD=DN, 上一点，点E是△ABC外一点，且CE∥AB, 又BD=CE,.DN=EC, ∠ADE=60°.求证：CE+CD=AB. ,·∠DFN=∠CFE 证明：如图，在AC上截取 ∴.△DNF≌△ECF(AAS),.DF=EF CM=CD,连接DM, 易证△CDM是等边三 角形， :.MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°， 图 图2 ∴.∠AMD=120°， 方法二：如图2，过E作EM∥AB交BC延长 .·∠ADE=60°， 线于点M,则∠EMB=∠B(过程略). ∴.∠ADE=∠MDC, 2.如图，BD平分∠ABC交AC于点D,点E为 .∴.∠ADM=∠EDC. CD上一点，且AD=DE,EF∥BC交BD于 CE∥AB, 点F.求证：AB=EF .∴.∠ACE=∠BAC=60°， 证明：如图，作AM∥EF ∴.∠DCE=120°=∠AMD, 交BD的延长线于 .△ADM≌△EDC(ASA), 点M, .AM=EC, EF∥BC, .CA CM +AM=CD CE, .BC∥AM,则∠M=∠DBC, ∴.CD+CE=AB. .BD平分∠ABC, 96《<<八下·BS 4.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，△FAD≌△CAD(AAS)∴AC=AF， ∠B=2∠C。∴AC=AB+BF=AB+BD。 A。型③利用倍角关系构造等腰三角形 5.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。求证： 备用图 -c2AC>AB。 （1)求证：AB+BD=CD； 证明：如图，延长BC到点D，A （2)①若将“AD是△ABC的高线”改为“AD使CD=AC，连接AD，则 是△ABC的角平分线”，其他条件不变，∠D，：∠ACB=∠CAD+ 请用尺规作图法在备用图中画出AD，∠D=2∠D，∠ACB=_ 不写作法，保留作图痕迹；2∠ABC，B━—_C…） ②判断(1)中结论是否成立?若成立，∠ABC=∠D∴AB=AD。 请证明；若不成立，AB+BD=?请证明AC+CD>AD∴2AC>AB。 你的结论。6.如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC 证明：(1)如图1，在DC上截取DE=BD，连交AC于点D，求证：AB=CD+BC。（用两种 接AE，方法） ∵AD是ΔABC的高线∴AD⊥BC， 解：方法一：在AB上取BE= 又∵DE=BD，∴AB=AE，∠B=∠AEB，BC，连接DE，如图1. ∵∠B=2∠C，∠AEB=∠C+∠EAC， ∵BD平分∠ABC交AC于 ∴∠C=∠EAC，∴AE=EC， ∴AB=EC，CD=DE+EC=BD+AB。 点D，B∠—____C ∴∠CBD=∠EBD， A∵BD=BD， ∴△CBD≌△EBD(SAS)， B^━E′_C∴CD=ED，∠C=∠BED。 图2°∵∠C=2∠A∴∠BED=2∠A。 （2）①如图2所示。∵∠BED=∠A+∠ADE…∠A=∠ADE， ②(1)中的结论不成立，AB+BD=AC。∴AE=DE，AE=CD。 理由如下：∵AB=BE+AE，∴AB=BC+CD。 如图3，延长AB至点F， 使BF=BD，连接DF，E/ ∵AD平分∠BAC，F ∴∠FAD=∠CAD，图3- ∵BD=BF，∴∠F’=∠BDF，B∠△______cB=_______F 图1°图2° ∴∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F．方法二：延长BC至点F，使CF=CD，连接 ∵∠ABC=2∠C…∠C=∠F，DF，如图2，证明过程略。 ∵AD=AD， 八下·BS>>>97