知识讲解 第一章 三角形的证明-2021-2022学年八年级下册初二数学【多维课时练】教师用书（北师大版）

>第一章 三角形的证明 本章思维导图 全等三目 判定：SSS,SAS.ASA,AAS,HL(直角三角形特有) 角形 性质：对应边相等，对应角相等 一定理：等边对等角 性质 、推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上 等腰三角形 的中线及底边上的高线互相重合（三线合一） 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形 判定 定理：等角对等边 等腰三 角形 等边三角形的三条边都相等 性质 等边三角形的三个内角都相等， 等边三角形 并宜每个角都等于60° 三条边都相等的三角形是等边三角形 判定 ·三个角都相等的三角形是等边三角形 一有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 一角形的证 ·角：直角三角形的两个锐角互余 性质 边：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） 直角三 ,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边 角形 等于斜边的一半 角：有两个角互余的三角形是直角三角形 判定 、边：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理） 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 线段的垂 直平分线 判定定理：到一条线段两个端，点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 三角形三条 边的垂直平：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点 分线的性质的距离相等 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 三角形三个 内角的平分： 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距 线的性质 离相等 教材知识讲解 1 等腰三角形 知识点①全等三角形的性质与判定 判定 判定定理 1.三角形全等的判定方法 定理 几何语言 图示 的内容 判定 简称 定理 判定定理 的内容 几何语言 图示 简称 在△ABC和△DEF中， 两边及其 AB=DE, 夹角分别 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D, SAS 相等的两 三边分别 AB=DE, AC=DF. 个三角形 相等的两 BC=EF 所以△ABC≌△DEF SSS 全等 个三角形 LAC=DF, (SAS) 全等 所以△ABC≌△DEF (SSS) 八下·BS 判定 【答案】C 判定定理 定理 几何语言 图示 【解析】AB∥FC,.∠A=∠ACF,∠ADE= 的内容 简称 ∠F,当AE=CE时，利用AAS可证得△ADE兰 在△ABC和△DEF中， 两角及其 △CFE,则有DE=EF,故A选项说法是正确的，不 ∠A=∠D, 夹边分别 符合题意；当DE=FE时，同理可证得△ADE≌ AB=DE, ASA 相等的两 ∠B=∠E, △CFE,则有AE=CE,故B选项说法是正确的，不 个三角形 所以△ABC≌△DEF 符合题意；当BC=CF时，无法证明△ADE≌ 全等 (ASA) △CFE,即无法得出AD=CF,故C选项说法是错 两角分别相在△ABC和△DEF中， 误的，符合题意；当AD=CF时，利用ASA可证得 等且其中 ∠A=∠D, △ADE≌△CFE,则有DE=FE,故D选项是正确 组等角的对 ∠B=∠E, 的，不符合题意 AAS 边相等的两列 LAC DF, 知识点②等腰三角形的性质定理及其推论 个三角形所以△ABC兰△DEF 内容 几何语言 图示 全等 (AAS) 等腰三角 【特别说明】(1)“SSA”“AAA”不能判定两个三 形的两底 在△ABC中， 角形全等 角相等.简 ·AB=AC, 理 (2)在运用“AAS”判定三角形全等时，两角指的 述为：等边 .∴.∠B=∠C 是两个三角形中任意两组对应角，一边指的是两组 对等角 相等的对应角中的一组角的对边， 在△ABC中， 等腰三角 :AB=AC,AD平分 (3)证明两个三角形全等需要三个条件，三个条 形顶角的 ∠BAC, 件中至少有一组边对应相等. 平分线、底 .AD⊥BC且BD=CD. 2.判定三角形全等的一般思路 边上的中 AB=AC,BD=CD. r找夹角→SAS 线及底边 已知两边 .AD平分∠BAC且 找第三边SSS 上的高线 AD⊥BC. 边为角的对边→找任意一 互相重合 .AB=AC,AD⊥BC. 已知 角→AAS 简述为：三 .AD平分∠BAC且 线合一 边 找角的另一邻边→SAS BD=CD 角 边为角的邻边 找边的另一邻角→ASA 【拓展提升】等腰三角形中的 找边的对角→AAS 相等线段 找夹边→ASA 已知两角 (1)等腰三角形两腰上的中线 找角的对边→AAS 相等，两腰上的高相等，两底角的 3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相 平分线相等 等、对应角相等。 (2)等腰三角形底边上的高线（中线、顶角的 【示例1】如图，点D是AB上一点，DF