知识讲解 第四章 因式分解-2021-2022学年八年级下册初二数学【多维课时练】教师用书（北师大版）

第四章 因式分解 本章思维导图 概念 *把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解 因式分解 与整式乘法的关系 ,多项式 整式除法 几个整式的积的形式 依据am+bnm+cm=m(a+b+c) 提公因式法 ·找公因式（公因式：多项式各项都含有的一个相同因式） 步骤 *提公因式 +确定另一个因式 a-l=(a+b)a-b) 方法 公式法- 因式分解 .a2±2ab+b=(a±b2 分组分解法x+(p+qx+pq=(r+p(x+q) 其他方法 十字相乘法ax2+bx+c=(a,x+c,,x+c,) 提：有公因式的先提公因式 步骤 套：套用公式 三检查：检查因式分解的结果是否分解彻底 简便计算 应用 求代数式的值 教材知识讲韶 因式分解 知识点①因式分解的定义 (1)因式分解是对多项式进行的一种恒等变 定义 实质 示例 形，故因式分解的对象是多项式； (2)分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； 把一个多 (3)每个因式必须是整式，且每个因式的次数 项式化为 都必须不高于原来多项式的次数； 几个整式 (4)分解因式必须分解到每个多项式因式都 的积的形 是一种恒等变形 9x2-3x=3x(3x-1): ! 式，这种变 不能再分解为止。 形叫做把 多项式化为几个 a2-4a+4=(a-2)2; 【示例1】下列从左到右的变形是因式分解 这个多项 整式的积 x2-x=x(x+1)·(x-1) 的是 () 式因式分 A.10x2-5x=5x(2x-1) 解，也叫做 B.x2-4x+1=x(x-4)+1 分解因式 C.x2+2x-1=(x-1)2 【特别说明】因式分解，应注意以下几点： D.(y-1)(y-2)=y2-3y+2 【答案】A 20 八下·BS 【解析】A.左边是多项式，右边是整式的积的 多项式乘法与因式分解是 形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意； 对互逆的变形 B.右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的 联系 几个 一个 多项式乘法 定义，故此选项不符合题意；C.左边的多项式不能 整式 多项 因式分解 用完全平方公式分解，因式分解错误，故此选项不 的积 式 符合题意；D.是整式的乘法，不是因式分解，故此 【示例2】如图，一个边长为a的小正方形与 选项不符合题意， 两个长、宽分别为a,b的小矩形拼成一个大矩 知识点②因式分解与整式乘法的关系 形，则由整个图形的面积关系可以得到一个有 多项式乘法：把 关多项式因式分解的等式，这个等式是 几个整式的积化 从算式的 为一个多项式. 结构看 因式分解：把一 ①a2-b 因式分解 整式乘法 个多项式化为几 (a+b)(a-b): 区别 个整式的积 ②a2±2ab+b 【答案】a2+2ab=a(a+2b) 多项式乘法：是 因式分解 (a±b)2 【解析】因为组合图形由一个边长为a的正方 一种运算. 整式乘法 从实质看 形和两个长为a,宽为b的长方形组成，所以组合 因式分解：是 种恒等变形 图形的面积为a2+2ab;因为组合图形也可以看成 一个长为(a+2b),宽为a的长方形，所以组合图 形的面积也等于a(a+2b).所以a2+2ab=a(a+ 2b). 2 提公因式法 知识点①公因式的定义及确定方法 式是 ( A.ab B.2ab C.4ab D.4ab2 1.公因式 多项式的各项都含有的相同的因式.公因式 ! 【答案】C 【解析】系数的最大公约数是4，相同字母的 可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或 最低指数幂是ab,所以多项式12ab3+8a3b的各 多项式 项公因式是4ab. 2.确定公因式的一般步骤 知识点②提公因式法 (1)定系数：如果各项系数都是整数，取各项 1.提公因式法 系数的最大公约数作为公因式的系数；若各项系 数中有分数，则公因式的系数为分数，分母取各项 定义 依据 示例 系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的 如果一个多项式 最大公约数： 的各项有公因 乘法分配律 (2)定字母：首先取各项相同字母（或因式）， 式，可以把这个 公因式提出来， 的“逆用” am +bm +cm 之后各项相同字母（或因式）的指数取其次数最 m(b+c-a); 从而将多项式化 m(a+b+c) 低的. 乘法分配律 a(x-1)+b(x-1)= 成两个因式乘积 【特别说明】(1)公因式的系数的“+”“-” 提公因式 (x-1)(a+b) 的形式，这种因 ma mb mo 一般由首项来决定 式分解的方法叫 (2)在因式分解时，经常应用下列关系： 做提公因式法 a-b=-(b-a):(a-b)2=(b-a)2: 2.提公因式法的步骤 (a-b)3=-(b-a)3: (1)找出公因式： (a-b)周=(b-a):(a-b)奇=-(b-a)奇 (2)提公因式并确定另一个因