1.4 角平分线（课件PPT）-【教材解读】八年级下册初二数学（北师大版）

第一章 三角形的证明 1.4 角平分线 学习目标 1.熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理. 2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题. (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形 (使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 知识讲解 OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系， 写出结论：____________. PD PE 第一次 第二次 第三次 PD=PE C O B A P D E 探究角平分线的性质 4 结论证明 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB (已知), ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义). 在△PDO和△PEO中, ∴ PD=PE. ∠ PDO= ∠ PEO, ∠ AOC= ∠ BOC, OP=OP. ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）, D P E A O B C 明确命题中的(已知)和(求证)； 根据题意画出图形,并用(数学符号)表示已知和求证； 经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出(证明过程). 简单叙述命题证明的步骤 ∵OC是∠AOB的平分线, 且PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE 归纳总结 角平分线的性质—符号语言 E D O A B P C 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角平分线的性质定理 三个理由， 缺一不可 角平分线的性质定理 角的平分线； 点在该平分线上； 垂直距离. (2)定理的作用： 证明线段相等 E D O A B P C (1)应用所具备的条件: 典例 例 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等. ∴点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等. 证明：过点P作PF⊥AB、PG⊥BC、PH⊥AC. ∵ BP是△ABC的∠ABC的外角的平分线, ∴PF=PG. ∵CP是△ABC的∠ACB的外角的平分线, ∴PG=PH. ∴PF=PG=PH. F G H 如果点P是内角平分线上的点呢？ 典例 例 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等. F G H 如果点P是内角平分线上的点呢？ 成立 三角形的三条角平分线交于一点 知识讲解 角平分线的性质定理的逆定理 求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 分析：已知：__ _____________________， _________________ _. 求证：_________________ __. 点P在∠ABC内，PD⊥OA于点D PE⊥OB于点E，且PD=PE OC是∠AOB的平分线 证明：∵PD⊥OA ，PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°. 又在Rt△PDO与Rt△PEO中 , PD=PE ， OP=OP. ∴△PDO≌△PEO（HL）, ∴∠1=∠2, ∴OC是∠AOB的平分线. 求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线的判定 OP 是∠AOB的平分线 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上. D E O P A B PD⊥OA, PE⊥OB, PD=PE. 角平分线的性质定理的逆定理 随堂训练 1.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若CD=3 cm,则点D到AB的距离DE长度是(　　) A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm C 2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别是E，F，BE=CF. 求证：AD是△ABC的角平分线. ∴AD是∠BAC的角平分线. 证明： ∵D是BC的中点, ∴BD=CD. ∵DE⊥AB， DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵BE=CF，∠BED=∠CFD，BD=CD, ∴Rt△BED≌Rt△CFD, ∴DE=DF A B C D E F 课时小结 角平分线 性质 判定 角平分线上的点到 角两边的距离相等. 到角的两边距离相等 的点在角平分线上. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,