第02讲 简单几何体（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第02讲 简单几何体（核心考点讲与练） ( 考点 考向 ) 空间几何体的表面积、体积 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　　　 表面积 体积 柱　体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥　体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台　体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1.求解几何体表面积的类型及求法 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 2.求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 3.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. 几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径. 4.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如:判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状. 柱体 一、单选题 1．（2021·上海市文来中学高二期中）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出等腰梯形的面积为，再利用计算得到答案. 【详解】等腰梯形的面积 则原平面图形的面积. 故选：C. 2．（2018·上海市控江中学高二期末）若一圆柱的侧面积等于其表面积的，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（       ） A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1 【答案】B 【分析】设这个圆柱的母线长为，底面半径为，根据已知条件列等式，化简可得答案. 【详解】设这个圆柱的母线长为，底面半径为， 则， 化简得，即， 故选：B 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式，考查了圆柱的表面积公式，属于基础题. 3．（2021·上海市控江中学高二期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件探求出圆柱底面半径r与母线l的关系即可求解圆柱的侧面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，则该圆柱轴截面矩形的一组邻边长分别为2r，l， 依题意，，解得， 由圆柱侧面积公式得：， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：A 二、填空题 4．（2021·上海市控江中学高二期中）已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________ 【答案】 【分析】正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱,根据圆柱的体积公式,即可得到答案. 【详解】由题意可知: 正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱 其底面半