4解析几何中的存在性问题的求解策略（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

解转塑型新源碧提器酒中学生表理化 解析几何中的存在性问题的求解策略 ■江苏省锡东高级中学 吴小明 许瑞珠 探索性问题一直是解析几何中常见的一 因为直线！与椭圆交于不同的两点，所 类考题，存在性问题是探索性问题的一种。 以△=64m2-48(m2+4)>0,得m2>12。 在解析几何中就是判断满足某些具体条件的 由弦长公式得|MA|·|MB|=/m+1· 点、直线、曲线、参数等几何元素是否存在的 一类综合性问题，它具有条件的不完备性、结 1yl·/m+11y,=12(m+1) m2+4 论的不确定性、过程的发散性等特征，重点考 |MA|+|MB|=/m+1Iy1|+ 查同学们的数学抽象、逻辑推理、数学运算等 /m+1|y:|=/m+1|y1+y21= 素养。解决存在性问题的一般策略是假设存 18m 在，从而增加题设条件，利用条件转化为代数 /m2+1. m2+49 问题进行计算和推理。 一、是否存在值的问题 MA+MBI8m/m+1 |MA|·|MB 12(m2+1) 例1(2021年四川成都七中高二开学 |2m 2 1 考试)已知椭圆C: +后=1(a>b>0)的离 3/m2+1 =3/1 m2+1 12 案e=3,直线x+3y一1=0被以椭圆 因为m>12,所以音<1- m+11, 的短轴为直径的圆截得的弦长为3。 所以号×<<号即∈（， (1)求椭圆C的方程。 综上可得，存在实数入，使得|MA|十 (2)过点M(4,0)的直线L交椭圆C于 A,B两个不同的点，试问：是否存在实数入， IMB1=AMA1·IMB,且x∈(49,2 39,3」 使得|MA|+MB|=入IMA·IMB|?若 点评：本题是探究参数入是否存在的问 存在，求出入的范围；若不存在，请说明理由。 题。从几何条件|MA|+|MB|=入|MA|· 解析：1)椭圆C的方程为 +y2=1. |MB|切入，由特殊到一般，进而求得参数入 的范围。解决这类问题的策略是先假设需要 (过程略) 探索的参数存在，从条件和假设出发，进行运 (2)由IMA+|MB|=λ|MA|·|AB|, 算、推理、转化，若出现矛盾，则否定存在；若 IMA+MB 可得入=MA·MB 不出现矛盾，则肯定存在。 当直线l的斜率为0时，IMA|·|MB 二、是否存在点的问题 =12,|MA|+|MB|=2+6=8,所以入= 例2(2021届高三T8名校联考)已 |MA|+|MB|82 MA·|MBT12=3· 知椭圆C: ≥+=1(a>b>0)与抛物线 当直线1的斜率不为0时，可设直线 M:y2=4x有公共的焦点，且抛物线的准线 的方程为x=my十4，A(x1,y1),B(x2,y2), 被椭圆截得的弦长为3。 /x=my+4, (1)求椭圆C的方程。 联立方程组 消去x整理得(m 4+y2=1, (2)过椭圆C的右焦点作一条斜率为k (k≠0)的直线交椭圆于A,B两点，交y轴 12 +4)y2+8my+12=0,所以y1y2= m2+4' 于点E,P为AB的中点，过点E作直线OP 8m 的垂线交OP于点Q。试问：是否存在定点 y1十y2= m2+4° H,使得QH的长度为定值？若存在，求出点 11 中学生款狸化舞释数学创题年枫酒 H的坐标；若不存在，请说明理由。 1,-2E）,(2,-4),(-3,0),4,42)。 解析：(1)椭圆C:子+ =1。(过程略) 3 3 (1)求C1,C2的方程。 (2)由题意可设直线AB的方程为y= (2)试问：是否存在直线1满足以下两个 k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组 条件：①过C2的焦点F;②与C1交于不同的 3=1, 两点M,N,且满足OM⊥ON？若存在，求出 消去y整理得(3十42)x2 直线（的方程：若不存在，请说明理由。 y=k(x-1), x 8k2x十4k2-12=0,则x1+x2= 8k2 解析：(1)C:9+y2=1:C:y2=8x。 3十4k2 (过程略) 3+46量。所以十之= 4k2-12 4k2 x1·2 2 3十4k, (2)由(1)知C,的焦点为F(2,0),假设 存在直线1。 3k 2 3十4，所以点 ①当直线（的斜率不存在时，直线1的 3k 方程为x一2，由椭圆的对称性知直线！交椭 P的坐标为(3+42，一3+462/、 所以直线OP的方程为y=一。 圆C于点M(2.)N(2.-),因为 3 ① OM.ON≠0，所以不满足题意。 在直线AB的方程y=k(x一1)中，令x ②当直线1的斜率存在时，可设直线l =0,得y=一k,所以点E的坐标为(0， 的方程为y=k(x一2)，M(x1,y1),N(x2, 一k)。因为直线EQ⊥OP,所以直线EQ的 y=k(x-2), y2),联立方程组 消去y整理 方