14圆锥曲线中的存在性问题的常见题型及其解法（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

中学生款理化解皱学经集题案破有法 圆锥曲线中的存在性问题的 常见题型及其解法 ■安徽省霍邱县第一中学 王海霞 余其权（特级教师） 圆锥曲线中的存在性问题常常是指在条 y 件不完备的情况下探讨某些结论能否成立。 63 =1经过点P(2,1),解得b2=3,则椭圆 存在性问题主要考查同学们探索解题途径，解 c若+芳-1 决问题的能力，是命题者根据学科特点，将数 学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的， 因为∠APB的角平分线总垂直于y轴， 要求同学们自己观察、分析、创造性地运用所 所以AP与BP所在直线关于直线y=1对 学知识和方法解决问题，它能很好地考查同学 称，则kAP=一kBP。 们的数学思维能力及科学的探索精神。 设直线AP的斜率为k,则直线BP的斜 圆锥曲线中的存在性问题的常用求解策 率为一k,所以直线AP的方程为y一1=k(x 略是：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或 一2)，直线BP的方程为y一1=一k(x一2)。 参数等)存在，用待定系数法设出，列出关于 设点A(x1,y1),B（x2,y2),联立 待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元 y-1=k(x-2), 素存在；否则，元素不存在。 6+ x 消去y整理得(1+2k2)x2 31, 一、是否存在定值问题 十4(k-2k2)x十8k2-8k一4=0. 例1(2021届西南大学附属中学高 因为点P(2,1)在椭圆C上，则有2·x1 三校拟若直线1经过椭圆C:号+若-1 =8k2-8k-4 1+2k2 所以x,=46一4一2 1+2k2 (α>b>0)的左焦点和下顶点，坐标原点O 4k2+4k—2 到直线l的距离为2a。 同理可得x,= 1+2k2 (1)求椭圆C的离心率。 -8k 所以x1一x:=1+2k2 (2)若椭圆C经过点P(2,1),A,B是椭 -8k 圆C上的两个动点，且∠APB的角平分线总 又y-y2=k(x1十x2)-4k=1+2k' 是垂直于y轴。试问：直线AB的斜率是否 为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明 所以直线AB的斜率为二=1。 x1一x2 理由。 评注：本题考查求椭圆的离心率和椭圆 解析：(1)过点（一c,0),(0,一b)的直线1 中的定值问题，解答本题的关键是由条件得 的方程为bx十cy十bc=0,则坐标原点O到 出kP=一k即，设直线AP,BP的方程，与椭 直线l的距离为d= c=bc=1。 6+c a2a,所 圆方程联立，求解出点A,B的横坐标，属于 中档题。 以a2=2bc→a'=4(a2-c2)c2→4e-4e2+1 二、是否存在最值问题 =0→e2=1 2→e- c_/2 a =2。 例2已知F1(一1,0)，F2(1,0)为椭 (2)由(1)易知a=2b,则椭圆C:无十 圆C的左焦点和右焦点，且点P(,2)在 38 解题篇经典题突破方法 高考数学2022年4月 中学生数理化 椭圆C上。 r= S△ABF2 2 4元 (1)求椭圆C的方程。 23 ,S内=9。 (2)过F,的直线1交椭圆C于A,B两 综上，当直线1的斜率不存在时，内切圆 点，试问：△F,AB的内切圆的面积是否存在 最大值？若存在，求其最大值及此时直线 的面积最大，(Sm)x=,此时直线L的 的方程；若不存在，请说明理由。 方程为x=一1。 解析：(1)由已知可设椭圆C的方程为 评注：本题第(1)问考查椭圆方程的求 + x 法，根据椭圆的定义设出椭圆的标准方程，进 =1(a>b>0)。 而求解；第(2)问判断三角形的内切圆的面积 由椭圆的定义知2a=|PF,I+十|PF2| 是否存在最大值，用到不太常用的三角形内 切圆半径公式，即r= 2S (1+1)+23) (1-1)2+ a+b+c,可得当三角 3 形的周长固定时，三角形的面积越大，内切圆 =23,所以a2=3,b2=2。 的面积越大，解题时要认真审题，注意韦达定 所以椭圆C的方程为 2 =1 理和分类讨论思想的合理运用，计算难度较 大，属于难题。 (2)当直线1的斜率存在时，设直线1的 三、是否存在定点问题 方程为y=k(x十1)，联立 +-1. (x2 消 例3(2022届皖西联盟第一次质量 y=k(x+1), 检测)已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点 去y整理得(2+3k2)x2十6k2x十3k2一6=0。 在x轴上，长轴长为2尽，离心率为，经过 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2= 其左焦点F,的直线l交椭圆C于P,Q 3k2-6 6k2 2十3k,x1十x2= 2十3k3 两点。 (1)求椭圆C的方程。 所以|x1一x2|=/(x1十x2)2-4x1x2= (2)试问：在x轴上是否存在一点M,使 4/3(k2+1) 得MP·M反恒为常数？若存在，求出M点 2+3k2