12解析几何中的轨迹方程的常用求法、圆锥曲线中的三角形面积问题的常用处理策略（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

解转塑轻典酒来方清中学生表理化 解析几何中的轨迹方程的常用求法 ■山东省菏泽市第二中学 陈慧 在平面解析几何中，求动点的轨迹方程 要检验化简方程的过程是否为同解变形，验 是重要内容，因而也是各种考试考查的重点 证求得的方程是否为所要求的方程。 和热点之一，久考不衰。下面介绍几种求轨 二、定义法 迹方程的常用方法。 例2(2021届山西吕梁高三一模)在 一、直接法 平面直角坐标系xOy中，设点F(1,0),直线 如果动点满足一定的几何条件，可列出 l:x=一1，点P在直线l上移动，R是线段 等式，然后用坐标表示，再进行化简得到轨迹 PF与y轴的交点，RQ⊥FP,PQ⊥l。求动 方程。这种求轨迹方程的方法叫作直接法。 点Q的轨迹C的方程。 例1(2021届四川成都七中高三期 解析：如图1，R是线段PF 中)设点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM 与y轴的交点，直线l和y轴 相交于点M,且它们的斜率之积为，对于结 平行，故R是线段PF的中点。 论：①当k=一1时，点M的轨迹方程为x2+ 又RQ⊥FP,故QR是线段PF y-25:②当太-一号时，点1的轨迹方程 的中垂线，所以QP=QF。结 图1 合PQ⊥l知，动点Q到点F的 为+80=10≠士5)：③当长=0时，点M 距离等于到直线（的距离，故动点Q的轨迹 是开口向右的抛物线，F是焦点，l是准线， 的轨迹方程为y=0。 其方程为y2=4x。 其中正确结论的个数为()。 ,点评：把握有关曲线定义的实质是求解 A.0B.1C.2D.3 圆锥曲线问题的关键。运用定义法求其轨 解析：设M(x,y),直线AM,BM的斜 迹，一要熟练学握常用轨迹的定义，如线段的 率之积=产。·产由直线AM,BM的 垂直平分线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等；二 斜率均存在，则x≠士5。 要熟练掌握平面几何的一些性质定理。 当k=一1时，有x2十y=25,所以点M的轨 三、代入法 迹方程为x2十y=25(x≠土5)，所以①不正确。 例3(2021届甘肃天水高三月考)已 当k=一音时，有音-并‘产即 y 知动点M在椭圆C:号+y=1上，过点M 系器-1，所以点M的抗连打程为后十 作x轴的垂线，垂足为N。若点P满足N户 =2NM,求点P的轨迹方程。 9y2 100=1(k≠士5)，所以②正确。 解析：令M(x,yo),N(xo,0),P(x, 当k=0时，y=0,所以点M的轨迹方程 y),则NP=(x-xy),NM=(0,y)。 为y=0(x≠士5)，所以③不正确。 因为NP=/2NM,所以(x-xa,y) 故选B。 x-x0=0, x0=x, 点评：(1)直接法求轨迹方程不需要特殊 2(0,ya)所以 即 2代 技巧，只需根据已知条件及一些基本公式，如 y=/2y0, yo= 2, 两点间的距离公式，点到直线的距离公式，直 线的斜率公式等，直接列出动，点满足的等量 豆+=1.可得号+苦-1，即 2+ 关系式，从而求得轨迹方程。(2)求解方程后 2,故点P的轨迹方程为x2+y2=2。 33 中学生款理化解皱￥经集题案破有法 圆锥曲线中的三角形面积问题的常用处理策略 ■广东省汕头市澄海中学 陈焕涛 在圆锥曲线中，三角形的面积问题是比 即x1x+y1y=1;直线QQ2:y一y2= (x 较常见的一种题型，它综合了数形结合、函数 V> 与方程、化归与转化等多种数学思想方法，有 一x2),即x2x十y2y=1。 利于考查同学们的逻辑思维能力与运算求解 因为直线QQ,与直线QQ2交于点Q,所 能力，下面列举三种圆锥曲线中三角形面积 以 (xixo+y1yo=1, 因此直线QQ2的方程 问题的处理策略。 x2xo+y2yo=1, 策略一、选择常用的公式直接求解 为xx+y=1。令x=0,得y=1,令y yo 例1(2021届上海高三第二次模拟 考试)设平面直角坐标系中的动点P到两定 -0,得x-所以Q.()Q.o) 点（一2,0），(2,0)的距离之和为42，记动点 又Q(xy)是椭圆发+义=1上的点 4 P的轨迹为Γ。 (1)求Γ的方程； 所以 4=1≥2xy (当且仅当|x。|= /32 (2)过下上的点Q作圆x2十y2=1的两 条切线，切点为Q,Q2,直线QQ2与x轴，y |ya时，等号成立)，则|xy|≤2/2。 轴的交点依次为异于坐标原点O的点Q, 1 所以S△Q.0,= 2 |OQ311OQ:1= Q,试求△QOQ:的面积的最小值。 1 1/2 解析：(1)根据题意，设点P(x,y), 21cy产4/2 8 F1(一2,0)，F2(2,0),则有|PF1|十|PF2|= 二、表示出弦长和对应的距离再求解 4厄>|FF,|=4,结合椭圆的定义可得点P的 例2(2021届江西萍乡高三第二次 迹是以F1(一2,0)