11圆锥曲线中的定值问题的常见题型及解法（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

中学生款理化解皱￥经集题案破有法 产圆锥曲线中的定值问题的常见题及解去 ■山东省菏泽市第二中学 刘伟娜 在解析几何中，有些几何量，如斜 接推理、计算，并在推理计算的 率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量 过程中消去变量，从而得到定值。 无关，这类问题统称为定值问题。对同学们 一、与角度有关的定值问题 的逻辑思维能力、计算能力等要求很高，这些 例1(2021届湖南常德高三一模)已 问题重点考查同学们对方程思想、函数思想、 知在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点 转化与化归思想的应用。解答的关键是认真 审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方 F(2,0)的距离与到定直线x=号的距离的比 程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元 等于常数2。 得出定值。 (1)求动点P的轨迹E的方程； 探索圆锥曲线中的定值问题的常见方法 (2)若直线PF与曲线E的另一个交点 有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数 值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直 为Q,以PQ为直径的圆交直线x-分于A 解析：(1)抛物线E的方程为x2=2y。 4(1+6)(伦+1) 4(k+1)×k+1 (过程略) k3+k/ (k+1)2 (2)设A()B().c(） 因为1+≥2，所以少≥4（当日 直线BC的斜率为k,不妨设x1<x2<xa,显 仅当k=1时，取等号)。 然有k>0,且k= x-x号x3十x 又因为 2(x8-x2) 2 。因 1≥支1，所以+1≥ 2 为AB上BC,所以-专= x-x号 (k+1) ,即+1、1 2(x1-xg) 2 (k+1)≥2（当且仅当k=1时， x1十x2 取等号)。 2 从而S≥16×2=8，当且仅当k=1时， 由1AB1=BC1得(1+是)(，-x,) S取得最小值8。 (1十k2)(x3-x2)2,即(x2-x1)2=k2(x3 点评：解决圆锥曲线问题的切入方式通 x2)2,即x2-x1=k(x3一x2),将x1=一 2 常有点切入、线切入两种方式，要根据变量特 k 点，选取恰当的切入方式。 x2,x=2k一x代人得x:十友=k(k一x:)。 圆锥曲线问题不仅计算量大，其涉及的性 质也是非常多，在解题时不仅要能够熟练运用 因为(6十1)：=一是，所以： 基础知识，也要有严谨的数学思维，每一步都 需要考虑清楚，要把很多隐含的条件找出来， k2+6,故正方形ABCD的面积S=|BC:= k3一1 这样可以锻炼同学们的运算能力、分析能力、 (1+k2)(x3-x2)2=(1十k2)(2k-2.x2)2= 解决问题的能力。 (责任编辑王福华) 30 解题篇经典题突破方法 高考数学2022年4月 中学生数理化 B两点，设劣弧AB所对的圆心角为0，求证： 3k2+3 0为定值。 21k2-3 分析：(1)由题意结合距离公式得出动点 3k2+3 P的轨迹E的方程。(2)当PF⊥x轴时，由 由垂径定理知，cos2 d-2,—3 3k2+3 P,Q的坐标可以得出圆的半径及圆心，再由 1k2-3 垂径定理得出O为定值：当PF不垂直x轴 时，联立直线与双曲线方程，由弦长公式得出 |PQ|,再由垂径定理得出0为定值。 又因为0∈(0，π)，所以 0 解：D设P(,y),则PF=2,所以 =5，即0 三为定值。 /(x-2)+y 1 x-2 =2,化简得x2-苦=1，故动 综上所述，0为定值。 评注：解决第(2)问的关键在于利用弦长 点P的轨迹E的方程为x-苦-1。 公式得出|PQ|,进而得出半径，再由距离公 式及垂径定理得出0为定值。 (2)①当PF⊥x轴时，把x=2代入x 二、与比值有关的定值问题 3=1中，可得P(2,3),Q(2,-3)。 例2已知F,F,分别是椭圆C: 所以圆心为(2,0)，半径为3，由垂径定 1 02-21 十=1(a>b>0)的左焦点和右焦点，过点 理知，cos =3 2 F:的直线1与椭圆C交于A,B两点，点 因为0E(0,x).所以号-晋，即0 2π M(2,1)在椭圆C上，且当直线l垂直于x 3 轴时，AB|=2。 为定值。 (1)求椭圆C的标准方程； ②当PF不垂直x轴时，设其方程为 y=k(x-2),P(x1y1),Q(x2y2)。 （e求证：十为定做。 [y=k(x-2), 分析：(1)根据题意得到关于a,b的方程 联立 x22 消去y整理得(3一 3=1, 组，求解出α2，b2的值，则椭圆的标准方程可 求。(2)当直线l的斜率不存在时，直接计算 k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0,所以x1十x2= AF+BF 4k2 3-k2,x1x2= 4k2+3 AF,1BF,即可：当直线1的斜率存在 3-k2c 时，设1：y=k(x十/2)，联立直线l与椭圆方 12k 所以y1+y2=k(x1