10圆锥曲线中的取值范围问题易错归类解析（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

中学生款理化鸳释数学品锁题得餐销析 圆锥曲线中的取值范围间题易错归类解析 ■江西省萍乡中学 陈友全 圆锥曲线是高考的常考内容，由于其运算 4(2 k2 4(k2+2) k2+1 k2+1 ,所以|AB|·|EF|2 量非常大，所以运算过程就容易出错。比较容 易出错的点在于忽视斜率不存在的情况、不重 4/5(k2+1)4(k2+2)_163(k2+2) 视圆锥曲线的基本性质、忽视取值范围等，本 2+3k2 k2+1 2+3k2 文就同学们易错的几个问题进行研究。 4 163 k2+2 163 3 一、忽视直线的斜率不存在致误 2 2 因为 3 k十3 k21 例1(2021年四川绵阳模拟)已知C 为圆(x+1)2+y2=12的圆心，P是圆C上 k∈[0，+∞)，所以|AB|·|EF|2∈ 的动点，点M(1,0),若线段MP的中垂线与 (16316s 3 CP相交于Q点。 若直线（的斜率不存在，则直线（的方 (1)当点P在圆C上运动时，求点Q的 轨迹N的方程； 程为x-1A.2)(1.2)E1 (2)过点M(1,0)的直线l与点Q的轨 迹N分别相交于A,B两点，且与圆O:x2十 1),F(1,-1),所以1AB1= 48,EF12=4, y2=2相交于E,F两点，求|AB|·|EF| 的取值范围。 |AB1·IEF?=16 3 解析：(1)由线段MP的垂直平分线可得 ICPI=IQCI+IQPI=1QCI+1QMI= 综上，aB·EFr∈[66] 23>|CM|=2,所以点Q的轨迹是以C,M ,点评：此题若不考虑直线的斜率不存在， 为焦点，焦距为2，长轴长为23的椭圆，所 则得不到正确结果。 以a=5,c=1,b=a2-c2=2,所以点Q 二、忽视二次曲线的性质致误 的筑态N的方程为写+兰-1 例2若过点P(-3,-)的直线1 与抛物线y2=x只有一个交点，求直线（的 (2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0)， 若直线的斜率存在，则可设直线！的方程为 方程。 y=k(x一1)，A(x1,y1),B(x2,y2)。联立 错解：由题意，直线l为抛物线y2=x的 切线，设直线L的斜率为k,其方程为y=kx 巴+之=1，消去y整理得(2+36) y=k(x-1), +3k一 ,联立 [=kx十3k一在'消去y整 1 y2=x, 6k2x十3k2一6=0，则x1十x2 6k 2十3k2x1x2 理得友x+(62-2-)x十9k 3 2k+ 3k2-6 2+32,所以1AB1=/+k)(x-x,) =0,解得k=一子，或3所以直线1的方 1 (1十k2) 6k2 4×3k267 x-1,或y-号+ 1 1 2+3k 2+3k2 程为y=一 43(k2+1) 因为圆心O(0,0)到直线1的 正解：上述解题过程忽视了直线1与抛物 2+3k2 。 线y2=x的对称轴平行的情况，即直线1的方 距离为d= 1l ,所以1EF|2= /R2+1 程还可以为x=一 4,所以与抛物线y2=x 28 解题篇易错题归类剖析 高考数学2022年4月 中学生数理化 只有一个交点的直线1有三条，分别为x= 4 -2= 1 ,或y=-1 1成y=言x+是 1 一2即。=4时，取等号，此时y。 4 士22，△PMN的面积的最小值为8。 点评：解决与圆锥曲线的有关问题时，首 ,点评：解题时一定要注重变量的取值范 先要清楚其基本性质。 围，不然容易导致计算结果出错。 三、忽视取值范围致误 四、缺乏直观想象能力致误 例3抛物线y2=2x上有一动点P, 例4已知A,B为抛物线上的两个动 点M,N在y轴上，圆C:(x一1)+y2=1内 点，且|AB|=6,求线段AB的中点M到y 切于△PMN,试问：△PMN的面积是否存 轴的距离的最小值。 在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不 错解：如图1，过M作y 存在，请说明理由。 轴的垂线，垂足为M1,根据图 错解：设动点P的坐标为(x。,ya),点 像，可以判断当线段AB垂直 M,N的坐标分别为(0，y1),(0,y2),则切 x轴时，|MM:|有最小值，此 线PM:y一y=二Yx,整理得(y,一y)x 时yA=一3，yB=3,则xA= 图1 9 一xy+xoy1=O,圆心C到切线PM的距离 TB-IM- ,所以点M到y 为d,=%y十xyl =1,整理得(x。一2)· /(y-y)+x 轴的距离的最小值为。 y十2yoy1一x。=0。同理，根据圆心C到切 正解：如图2，分别过点A,B,M作准线 线PN的距离也为1，可得(x。一2)y号十 x=一1的垂线，垂足分别为 B 2y0y2一xg=0,即y1,y2为方程(x。一2)y2十 A1,B1,M2,则IMM2|= 2yoy一x。=0的两个根。根据韦达定理得 IAA:1+IBB,IM