9圆锥曲线中的相关性质易错归类解析（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

解题篇易错题归类剖析 高考数学2022年4月 中学生数理化 圆锥曲线中的相关性质易错归类解析 ■江西省萍乡中学 彭乡萍 彭仕海 高考对圆锥曲线的考查主要是相关定义及 正解：由图可知，AA1与A2B的交点在 曲线性质，由于对定义及性质理解不透，导致出 现一些常见的典型错误，下面举例说明。 第四象限，故交点M的轨迹方程为一是 一、 求轨迹方程不验证方程的解是否为 1(x<-a,y<0)。 曲线上的点致错 (2)设A'(x2,y2),由矩形ABCD与矩 例1(2021年上海模拟)如图1，椭圆 形A'B'C'D'的面积相等，得4|x1||y1| 4x2|y2|,故xy=xy。因为点A,A'均 +6=1(a>b 在楠圆上所以6)=6-一)， 0,a,b为常数)，动圆C1: 由t1≠t2,知x1≠x2,所以x子十x=a2,从而 x2+y2=t,b<t1<a。 xy?=xy,因此t+t=a2+b2为定值。 A1,A2分别为C。的左顶 点和右顶点，C1与C。相 图1 二、忽视截距为0致错 交于A,B,C,D四点。 例2求过点(2,4)且在坐标轴上的截 (1)求直线AA1与直线A2B的交点M 距之和为0的直线方程。 的轨迹方程。 错解：设直线的方程为后十。=1。因 (2)设动圆C2:x2十y2=t号与C。相交于 A',B,C',D'四点，其中b<t2<a,t1≠t2 2过点(2,4)，所以2+4。=1 若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相 等，证明：t十t为定值。 a=一2。故所求的直线方程为2十兰=1 错解：(1)设A(x1,y1),B(x1,一y1),又 即x一y+2=0。 知A,(一a,0),A2(a,0),则直线A1A的方 错因：直线的截距式方程只适用于截距 程为y= 不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截 x1+a (x十a),直线A,B的方程为 距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致 y= y1(x-a)。所以y2= y明 漏解。 x1-a xi-a7(x2- 正解：当直线的截距均不为0时，同错 a2)。 ① 解。当直线的截距均为0时，直线过原点，此 由点A(xy)在椭圆C。上，故 时直线的斜率为k=2,直线的方程为y= b2 2x,即2x一y=0。故求的直线方程为2x -1.则好=公(-)代人①得 y =1。 -y=0,或x-y+2=0。 错因：错解中没有验证方程的解是否为 三、忽视隐含条件致错 曲线上的点 例3若过点A(4,2)可以作两条直线 x1-2,k,=,1 正解：因为k,=一1， x2一2，只需 4"12+(m-3)(- 3 ）-4m+4=0恒成 证(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0。 立，故∠APB的平分线总垂直于x轴。 而(y1一1)(x2一2)+(y2-1)(x1一2) 总结：类似的转换还有以AB为直径的 (x1十m-1)(x2-2)+(x2+m-1)(x1-2) 圆经过某点P,指PA·PB=O:线段之比转换 =2x1x2+(m-3)(x1十x2)-4m+4= 成横或纵坐标之比等。（责任编辑王福华） 25 中学生款理化鳄数学易铺题星类朝析 与圆C:(x-3n)2+(y-4m)2=25(m十4) 错因：错解忽略了PF2与左支有交点。 相切，则点A在圆C的（填“外部”，“内 正解：因为PF2与左支有交点，所以 部”，“上面”)，m的取值范围为。 错解：因为过点A与圆有两条切线，可 ,即 >1,所以e>2,所 见点A必在圆的外部。因为点A在圆的外 以e∈(2,5)。故选D。 部，则有(4-3m)2+(2-4m)2>25(m+4)2, 点评：充分利用题中相切的特点，以及双 解得m<一吕。放填：外部：m<一吕 曲线自身的几何特征，建立关于a,b,c的不 等式，得出离心率的范围，特别是切线与双曲 错因：错解忽略了圆方程中的半径一定 线左支有交点这个条件的利用。 要大于0这个隐含条件，即没有注意条件 四、忽略了给定条件对离心率的范围 25(m+4)2>0。 的限定致错 正解：因为过点A与圆有两条切线，可 见点A必在圆的外部。因为点A在圆的外 例5设双曲线后若-1a>6>0) y 部，则有(4-3m)2+(2-4m)2>25(m+4)2, 的半焦距为c,直线l过(a,0),(b,0)两点， 19 解得m<一2。再结合圆方程中的半径必须 若原点到直线1的距离为气，则双曲线的离 大于0，即有25(1+4)2>0，所以m≠一4，因 心率为。 此m的取值范围为m< 12且m≠-4。 19 错解：设直线1的方程为二+=1，即 b 例4已知双曲线E:-方=1(a八 ab b.x十ay一ab=0,由题意可知 /a2+b 0,b>0)的左焦点和右焦点分别为F1,F2,过 F2作圆O:x2十y2=a2的切线，切点为T,