8解析几何中的直线与曲线的位置关系易错归类解析（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

中学生款理化鸳释数学品锁题得餐销析 解桥几何中的直线与曲线的位量关系 易归类粉 ■江西省萍乡中学 郭嫣娜 直线与曲线的位置关系是高考考查的重 (5+9k2).x2-54kx+36=0,所以x1十x2= 点内容之一，主要以解答题的形式进行考查， 54k 9k十5。直线AM的方程为 36 属于中等难度。本文通过剖析圆锥曲线问题 9k2+5x12= 中的易错点，总结如何熟练解答圆锥曲线的 3y1 y= 有关题目，从而帮助同学们高效备战高考。 ,十3x十3)，令x=0,解得y= x1+3 一、求取值范围问题时，未考虑圆锥曲 所以点s)小直线AN的方程为 线与直线的公共点个数致误 3y2 3y2 例1已知椭圆c:号+苦-1，其长轴 y- 3（x+3),同理得点T0,并) 的左顶点和右顶点分别为A,B。 所以 D5= o,+D (1)若P,Q是椭圆上关于x轴对称的两 点，直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,且 0, +3).D0-0,3 kk2≠0，求|k1I十k2的最小值； (2)已知过点D(0,一3)的直线L交椭圆 因为D5=Dd,D亦-Dd,所以3 x1+3 C于M,N两个不同的点，直线AM,AN分 +3=3入， 3y2 别交y轴于点S,T,记D=Dd,D元 3+3=3,所以入十k=十3 DO(O为坐标原点)，当直线1的倾斜角0 十3+2=3+x:-3 +2= 为锐角时，求入十4的取值范围。 x1+3 x2+3 错解：(1)设点P(x。,yo),由椭圆的对称 2kx1x2+3(k-1)(x1+x2)-18 x1x2+3(x1十x2)+9 十2= 性知Q(xo,一yo),不妨令ya>0,由已知得 36 2k· 54k A(-3,0),B(3,0),则k1= y。 +3(k-1)· x0十3，k2= 9k2+5 9k2+5-18 -+2= 36 。3显然有一3<z<3,则1k11+1k yo gB5+8X8与+9 0 k+1 -=6,z 3+。十3x。-9x·9+5=1→9-x8 9 +1×+2 9y,则1k11十1k=30。因为0<≤5， 10 因为k>0,所以k+1>1,故0>-10 9 >吕即A+(合)小 1 1025 所以k+k,=3>≥g,当且仅当y 剖析：第(1)问的解答正确，第(2)问的解 5时等号成立，所以|k,|十|k2|的最小值为 答中，未考虑直线与曲线的交点个数对k的 25 影响，故最后求k的取值范围时出现错误，从 3。 而导致计算结果错误。 (2)当直线1的倾斜角0为锐角时，设直 正解：(2)前面同错解。考虑△=(54k)2 线l:y=kx-3(k>0),M(x1,y1), y=kx一3， 一4X36×(5+9k2)>0,由k>0,得>号 31 N(x2,y2),联立 +-1，去理 2 所以入十红∈（待，2）。综上入十化的取值范 22 解题篇易错题归类剖析 高考数学2022年4月 中学生数理化 围为（告2） kx0十m= 3-k。因为BM=|BNI,所以 31n 二、求范围时忽略变形后的代数式隐含 3m -3 的范围致错 BQ⊥MN,所以ka=n-E 3-k2 km 例2(2021年湖北高三期中)已知双 3-k 曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为 友，所以3-6：=4 3n。 ② F,右顶点为A(1,0),P是其渐近线上的一 点，且以PF为直径的圆过点A,|PO|=2,O 由①②得m<-4 3,或0<m<3 4 为坐标原点。 (1)求双曲线C的方程； 又因为=3-后n>0,所以m (2)当点P在x轴上方时，过点P作y -4 轴的垂线与y轴相交于点B,设直线l:y= 3,或0<m<33 4。 kx十m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两 三、求定点题型时不会用由特殊到一般 点M,N,若|BM|=|BN|,求实数m的取值 的方法来简化题目致错 范围。 例3在平面直角坐标系xOy中，已 解析：(1)因为F(一c,0),A(a,0),双曲 知点F1(一2,0)，F2(2,0),点M满足|MF1 线C的渐近线方程为y=士么，以PF为直 +|MF2|=42,记点M的轨迹为C。 径的圆过点A,所以PA⊥AF。不妨取点P (1)求轨迹C的方程； (2)设直线1为圆x2+y2=4上动点T 在y=合x上，设P(,)则行- (横坐标不为0)处的切线，P是1与直线y= (-a,2),Fi=(a+c,0).因为PA上 22的交点，Q是1与轨迹C的一个交点，且 点T在线段PQ上，求证：以PQ为直径的圆 AF,所以AP·FA=(t-a)(a十c)=0,可 过定点。 得t=a,则P(a,b)。因为|PO|=2,所以 错解：(1)由题意可知点M的轨迹是以 a2十b2=4。因为a=1,所以b2=3。所以双 F1(一2,0)，F2(2,0