7圆锥曲线中的综合问题易错归类解析（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

解题篇易错题归类剖析中学生数理化 高考数学2022年4月 圆锥曲线中的综合问题易错归类解析 ■江西省萍乡中学 毛乐萍 细节往往决定成败，解答圆锥曲线中的 综上可得，a的取值范围为a<一2，或 综合问题时若不注重细节，则容易致误或思 a>2。 维受阻。下面以一些有代表性的模考题为 二、不利用性质，盲目计算致误 例，探索圆锥曲线综合问题中的易错题型，以 例2已知Q是圆O:(x+1)+y 期为同学们的高考备考能提供帮助。 16上的动点，点P(1,0),线段PQ的垂直平分 一、二次曲线与二次曲线的交点问题等 线与QO,交于点C,点C的轨迹为曲线E。 同于直线与二次曲线的交点问题致误 (1)求曲线E的方程。 例1若圆(x-a)2+y2=4与抛物线 (2)若A,B为曲线E上不同两点，O为 y2=6x没有公共点，求a的取值范围。 坐标原点，线段AB的中点为M,试问：当 错解：由于圆的半径为2，当圆与抛物线 △AOB的面积取最大值时，是否存在两定点 外切时，a=一2，所以a<一2时，圆与抛物线 G,H,使得|GM|十IHM|为定值？若存在， 没有公共点。当圆与抛物线内切时，联立方 求出这个定值；若不存在，请说明理由。 1(x-a)2+y2=4, 解析：(1)因为点C在线段PQ的垂直平 程组 消去y化简得x2 y2=6x, 分线上，所以CP=CQ。又因为点C在QO1 (2a-6)x+a2-4-0,由△=(2a-6)2 上，所以O1Q=O1C+CQ=O1C十CP=4。 所以点C的轨迹是以O1,P为焦点的椭圆， 4(a2-4)<0,解得a>。 所以2a=4,即a=2,c=1,b2=a2-c2=3, 综上可得，a的取值范围为a<一2，或 故面线E的方程为+苦-1。 69 (2)当直线AB的斜率存在时，可设直线 错因分析：二次曲线与二次曲线的交点 AB的方程为y=kx十m。联立方程组 问题不同于直线与二次曲线的交点问题的探 (y=kx+m, 讨，仅用判别式法是不够的，这是因为二次曲 2 1, 消去y化简得(3+4k2)x2+ 线是有范围限制并且一般情况下具有对称 3 性，要结合起来一起讨论。由于我们研究的 8kmx+4m2一12=0，所以x1+x2= 是曲线与曲线之间的位置关系，图形未必能 8km 4m2-12 3十4k?,x1x2= 3十4k2。 把细微处的走向描述得很清楚，所以必须与 代数运算结合起来。 正解：前面同错解，求得α<一2，符合题意。 设P(x,y)为抛物线上一点，点P到圆 /(x2+x1)3 4x1x2 = 、1 心(a,0)的距离为d,则d=(x一a)2+y2= 8km 4n2-12 -4· 2|m (x-a)2+6.x=[x-(a-3)]2+6a-9。 3十4k9 3十4k2 3+4k2 设f(.x)=[x-(a-3)]十6a-9(x≥ /4k2m2一(m 2-3)(3+4k2) 2ml 0),当a-3>0,即a>3时，f(a-3)最小，所 3+4k2 以d=0-9>2,解得a>是，因为u /9-3n2+12k3= 2/5ml /3+4k2-m2= 3+4k2 3,所以a>3。 721 7n2 1 213· 当a一3≤0，即a≤3时，f(0)最小，所以 3十4k2 3+4),当3+4= 2 dmim=a>2,因为a≤3，所以2<a≤3。 时，(S△A0B)mx=3,此时2n2=3十4k2。 19 中学生数理化解毓学易错题归类制析 高考数学2022年4月 又因为y1十y2=k(x1+x2)+2m= (2)依题意可知直线！的斜率存在且不 3+4k,所以M 6m x十x,y十)，所以 为0，所以可设直线l的方程为y=k(x+1), 2 2 设M(x1,y1),N(x2,y2),M'(x1,一y1),联 M(- 4km 3m y=k(x+1), 3+4k2’3+4k2/ 立方程组 消去y化简得(3+ Akm 2k 31, .x= 3+4k2 2 消去k,m得 4k)x2十8k2x十4k2-12=0,所以x1十x2= 3m 3 3+4k22m’ 8k2 3十4k221x2= 4k2-12 3十4k2 点M的轨迹方程为)+ =1e 直线NM'的方程为y十y,=y+Y, 2 x2一x1 由椭圆的性质知两焦点满足题意，所以 (x一x1),根据椭圆的对称性可知，若直线 NM'过定点，则定点在x轴上。 平面内存在两定点G(停)小，H(-号0 令y=0,得y=+斗.(x一，)，所 x2一x1 使得GM1+|HM|=2/2 y1(x2-x1) 当直线AB的斜率不存在时，设A(2cos0, 以 y2十y1 3sin0),则B(2cos0,-3sin0)。 y(x2-x1)+x(y十1)=1y十x2y= y2+y1 y2十y1 所以S△4B=23sin0c