6例谈圆锥曲线中的定点定值问题（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

中学生数理化想照制_创新图进积测源 ___ 高考数学2022年4月 例谈圆锥曲线中的定点定值问题 ■江苏省天一中学沈爱莉 高考新课标着力对数学核心素养的考查，≠0，试问：在x轴上是否存在定点N，使得 圆锥曲线成为考查逻辑推理能力和数学运算直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为 的重要载体。其中，有关“定”的问题在高考中底边在y轴上的等腰三角形?若存在，求出 经常出现，主要包括动直线过定点，以及证明定点N的坐标；若不存在，请说明理由。 线段长、面积、数量积，线段比值为定值等问解析：(1)因为|PF_1|＋|PF_2|=2a，所 题。定点定值问题的共同特征是“定”而与以点P在椭圆C上。将P(1，学)代人三+ “定”相对的就是“动”，故定点定值问题的本 质就是寻求运动变化过程中的不变性。=1.得一+=1。 -、巧设参数，动中求定 例1已知椭圆C.-+=1(a> 设椭圆C的焦距为2c·则S_Δms-号 b≥0)的左焦点和右焦点分别为F_1，F_，点2一号所以c=ls。从而a^2-b^2=3。② P(1，③)满足|PF_1|+|PF_z|=2a，且由①②解得a^2=4，b^2=1，所以椭圆C 的方程为4+y^2=1。_ （2)显然直线l的斜率存在且不为0，设 （1)求椭圆C的方程。直线L．y=k（x―4)，联立方程组 （2)过点M(4，0)的直线l与椭圆C交于=k(x-4)，去y整理得(1+4k^2)x^2 A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)两个不同的点，且y1yzx^2+4y^2-4=0， ) 所以a=2，c=1，p=2，b=/3，所以抛物线M（3m^2+4)y+6my-9=0，所以y_3+y_4= 的方程为y^2=4x，椭圆N的方程为一+号=1。―3“y3y4=―3m 依题意可令直线l的方程为x=my+1代入(×)式得3m+4-号解得m=1， 且m>0。设A(x_1，y_1)，C(x_22y_2)，B(x_3， y_3)，D(x_1，y_4)。 或m=-1(舍去)。 结合图2，由3|AB|=4|BC|+7|CD|，所以直线l的方程为y=x-1。 可得3(y_1-y_3)=4(y_3-y_2)+7(y_2-y_4)，即 评注：抛物线问题是近几年高考的热点和 3(y_1-y_2)=7(y_3-y_1)(注意y_1>y_3>y_2>难点问题，2021年全国乙卷，2019年全国Ⅲ卷 的压轴题都是对抛物线的考查。题目的难度 y_1)，所-以、3-/(y_1+y_2)-4y1y_2=比较大，主要考查同学们分析问题，解决问题 7/(y_3+y_1)^2-4y_3y_1。（*）的能力。 x=my+1，去x整理得立平面直角坐标系，用代数的方法来研究几 联立方程组{，=4x， 总之，圆锥曲线解答题的解决主要依赖于 y^2-4my-4=0，所以y_1+y_2=4m，y_1y_2=何问题。在解决圆锥曲线解答题时还需要重 -4。视概念的形成，加深对定义的理解，规范解题 (x=my+1，过程，提高运算的准确度，注重常用结论的积 联立方程组二+号=1.去x整理得-累，注重数学思想的培养和数学方法的运用！（责任编辑王福华） ________________________ 16° 解题篇。创新题追根溯源中学生数理化 ___________高考数学2022年4月日学生数理化 32k^2（2)设P(x_0，y_0)为椭圆E上任意一点， -32k^2x+64k^2-4=0，则x_1+x_2-1+4k^， 则一+y=1→y_6=1-2 x_1x_2-1+4k^﹐由Δ=(-32k^2)^2-4(1+圆P的方程为(x-x_0)^2+(y一y_0)^2= 。x_6+y_6^⇒x^2+y^2-2x_0x-2y%y=0，圆F_1的 4k^∘)(⑥4k-4)>0，得o<k<2∘ 方程为(x＋1)^2+y^2=3⇒x^2+y^2+2x-2= 假设存在点N(t，0)，因为直线NA，NB0，两式作差得公共弦的方程为(x_a+1)x+ 与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的y_0y一1=0。所以弦心距d- 等腰三角形，所以km+km=0，即k_N+x_，+2|==。+2| k_N=c=，+-=k(x1-4)+k(x_3-4)/x。+1)v+24- (x_w+1)+1-2x +4）|r+2T=-{2，则弦长│MN│= =k·2x1x_3-(=2G=2_2)+8′=0.即+2xo+2(x_1-：一t） 2x_1x_2-(t+4)(x_1+x_2)+8t=0，所以 2/3-d^x=2.所以圆F_，和动圆P的公共弦 128k^2-8-t+4)32k^2+8t+32tk^2=0，所长为定值2。 1+4k^2―～1+4k^2+―1+4k^2=0.所长为定值2。 以128k^2-8-(t+4)3