5例谈圆锥曲线中的离心率问题的解题策略（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

中学生款理化鸳释蕴学创新题许枫酒酒 别类圆雅由线中的离心華向题的翻题策终 ■安徽省马鞍山市第二中学郑蒲港分校 吴文涛 解析几何是高中数学的重要组成部分， 2a2c2 2a2c2-2a2b 是高考的重点、难点和热点内容之一。其题 a2+b2 a2+b2 atbi+uciab 2a2c2 6,化简得2a2 目主要以圆锥曲线为载体，与平面向量、导 c2、 a2+b2 数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合， 考查同学们的数学思维能力及创新能力，其 =3c2,所以e=6 3 设问形式新颖，综合性很强，特别是圆锥曲线 (2)设B(x,y),点B,M,N都在椭圆 中的离心率问题是近几年高考的一个热点。 上，故b2x2+a2y2-a2b2=0,b2x+a2y 下面我们一起探索离心率问题的解题方法。 a2b2=0,b2x+a2y2-a2b2=0。 一、平面向量与圆锥曲线相结合的问题 因为OB=a2OM+B,ON,所以x=a2x1 例1(2021年安徽广德实验中学高 +B2x2,y=a2y1+B2y8。 三月考)已知F(c,o)是椭圆C,号大， =1(a 所以b2x2+a2y2=(a号+B号)a2b2十 >b>0)的右焦点，直线y=x一c交椭圆C 2a2B2(b2x1x2+a2y1y2)=a2b2。 于M,N两点，交y轴于点A,且AM= 又点M,N在直线y=x一c上，则y1y2 a MF,AN-B NF,a+B--6. =(x1-c)(x2-c)=x1x2-c(x1+x2)+ (1)求椭圆C的离心率e: c2=bc2-a26 a2+b2 (2)若B是椭圆C上的点，O是坐标原 点，OB=a2OM+B,ON,求a+的值。 所以bx1x十ayy=(ac2-a2b) a+63 解析：(1)由题中所给条件可得A(0, -c),设M(x1,y),N(x2,y2),则AM= +be2-ab2)=ab(3c=2a）-0,所 a2+b2 a2+b2 (x1y1+c),M=(c-x1,-y1),AN= 以(a+B3)a2b2=a2b2,所以a+B2=1。 (xy2+c),Ni=(c-x2,-y2)。 评注：处理平面向量与圆锥曲线相结合 由AM=a1M,AN=B,N,得(x1, 的问题有两个基本环节：①翻译转化一将 y1+c)=a1(c-x1,-y1),(x2,y2+c)= 平面向量之间的关系通过向量的坐标，变成 B1(c-x2,-y2),所以x1=a1(c一x1),x2= 关于横坐标和纵坐标的代数式（等式、不等 ac-,所以e1=产女A-产由已 式)：②消元求值一对所列出的式子（等式、 不等式)进行变形、化简、消元、计算，最后求 出要求的值或范围。只有把握好这两个基本 知易得x1≠c且x2≠c,所以a1十B= 环节，才能更好地处理平面向量与圆锥曲线 c(x1+x2)-2x1x2 相结合的问题。关于求离心率的值或者范围 c2-c(x1十x2)+x1x2 问题，主要还是要找到或者构造出关于α，c y=x一C, 联立方程组 消去y 的齐次式或者不等式。 b2x2+a2y2-ab2=0, 二、双曲线与椭圆相结合的问题 整理得(a2十b2)x2-2a2cx十a2c2-a2b2=0, 2+6x1x,=ac3-a'62 例2(2021年全国高三模拟)在平面 2a'c 所以x1十x2= a2+b2。 直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆和双曲 c(x1+x2)-2x1x2 线有共同的顶点(2,0)，且双曲线的焦点到渐 所以a1十B=2-c(x1十x2)十1x 近线的距离为23，双曲线的渐近线与椭圆 14 解题筒创新题追根湖酒中学生数理化 ____________高考数学2022年4月学生数理化 的一个公共点的横坐标为”3π线PO的方程为-+一一一 （1)求双曲线的离心率；(x+413k)。则P(-313)· （2)求椭圆的方程； （3)过椭圆的左焦点F作直线l(直线l所以|FP|=/3-3/3k|-/31+k^2， 的斜率不为零)与椭圆交于M，N两点，弦 MN的垂直平分线交x轴于点P，求证：“所以FP⊥=B.即FP为定值。 ⊥FP IMNT为定值。评注：近几年高考在圆锥曲线解答题中很 解析：(1)设双曲线的方程为一一=少出现考查双曲线的题目，一般双曲线的题目 都出现在选择题和填空题中，比较突出的考点 1，由已知得a=2。因为双曲线的焦点到渐是与离心率有关的问题，但不能排除2022年 近线的距离为2/3，所以b=2/3，所以双曲高考中解答题出现双曲线的可能。因此，对于 双曲线解答题的解题方法我们也要牢牢掌握， 线的离心率e=/1+a-=2． 注意双曲线与椭圆之间的差别与联系，掌握好 （2)由已知可设椭圆的方程为了+m一基础概念，加深对定义的理解。 1(0≤m<2)，由(1)可知双曲