重难点01 线线角、线面角、二面角问题（重难点突破解题技巧与方法）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

重难点01线线角、线面角、二面角问题（重难点突破解题技巧与方法） ( 技巧 方法 ) 1.求异面直线所成的角的三步曲 2.求直线和平面所成角的关键 作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。 3.找二面角的平面角的常用方法 （1）由定义做出二面角的平面角 （2）用三垂线定理找二面角的平面角 （3）找公垂面 （4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 ( 能力拓展 ) 求异面直线所成的角 一、填空题 1．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知四棱柱中，异面直线与所成角为，且，，则的长为_________． 【答案】或 【分析】根据题意得出为异面直线与所成角或所成角的补角，从而在中，应用余弦定理即可求出答案. 【详解】因为，所以为异面直线与所成角或所成角的补角， 即或， 当时，因为，所以为等边三角形，所以； 当时，因为， 在中，由余弦定理，得, 所以. 故答案为：或. 2．（2021·上海·格致中学高二期中）设E是正方体的棱的中点，在棱上任取一点P，在线段上任取一点Q，则异面直线PQ与BD所成角的大小为______． 【答案】 【分析】连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理可知，即可得解. 【详解】连接，由底面为正方形，可知， 由正方体的性质，可知平面，又平面，则 又，则平面， 由已知可知平面，则 所以异面直线PQ与BD所成角的大小为 故答案为： 3．（2021·上海中学高二期中）正方体中，异面直线与BD所成角大小为______ 【答案】 【分析】连接、，，证明，可得即为异面直线与BD所成角，在求即可求解. 【详解】如图，连接、， 因为，, 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以即为异面直线与BD所成角， 设正方体的棱长为， 在中，， 所以是等边三角形， 所以，即异面直线与BD所成角为， 故答案为： 二、解答题 4．（2022·上海浦东新·高二期末）如图，在正方体中. (1)求异面直线和所成的角的余弦值； (2)求证：直线平面. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据已知，可将异面直线和所成的角转化为直线和所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解； （2）可通过连接，证明四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理即可完成证明. (1)因为，所以就是异面直线和所成的角.又因为为正方体，所以异面直线和所成的角为，所以异面直线和所成的角的余弦值为. (2) 连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以；平面，平面；所以直线平面. 即得证. 线面角 一、单选题 1．（2022·上海市控江中学高二期末）如图，已知正方体，点P是棱的中点，设直线为a，直线为b．对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有两条直线l与a、b都成角．以下判断正确的是（       ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】A 【分析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可； ②一组邻边与对角面的夹角相等，在平面内绕P转动，可以得到二条直线与a、b的夹角都等于. 【详解】如下图所示，在侧面正方形 和再延伸一个正方形和，则平面 和 在同一个平面内，所以过点P，有且只有一条直线l，即 与a、b相交，故①为真命题； 取中点N，连PN，由于a、b为异面直线，a、b的夹角等于 与b的夹角.由于 平面，平面，，所以平面，所以与 与b的夹角都为 .又因为平面，所以与 与b的夹角都为，而，所以过点P，在平面 内存在一条直线，使得与 与b的夹角都为，同理可得，过点P，在平面 内存在一条直线，使得与 与 的夹角都为；故②为真命题. 故选：A 二、填空题 2．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的全面积等于_________． 【答案】10 【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解. 【详解】由题意，正四棱柱如下图： 不妨设正四棱柱底面边长为，， 由已知条件可得，， 又因为底面，所以对角线与底面所成角为， 因为对角线与底面所成角的余弦值为，， 所以，解得，从而， 故该正四棱柱的表面积. 故答案为：10. 三、解答题 3．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，垂直于底面，，、分别为、的中点. （1）求证：； （2）求与平面所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由题设易得，由已知及线面垂直的性质有面，根据线面垂直的判定