专题05 复数的综合运用-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题05 复数的综合运用 【考点预测】 一.基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，. （2）形如的数叫复数，记作. ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 二.基本性质 1.复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数. （3）. 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数. 2.复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数. （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离. 【典型例题】 例1．（2022·江苏·海安市曲塘中学高一期中）已知是虚数单位，复数满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设，则，根据，列出方程，从而可得答案. 【详解】 设，则， 则， 所以，所以， 所以. 故选：B. 例2．（2022·重庆十八中高一阶段练习）已知复数z满足，则的最小值为（          ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解. 【详解】 解：设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 例3．（2022·江苏·海安市曲塘中学高一期中）复数（为虚数单位），则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数的运算，求得，结合复数模的公式，即可求解. 【详解】 由复数，则. 故答案为：. 例4．（2022·安徽·安庆一中高一期中）若复数，且满足，则点所围成的图形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 在复平面中，表示复数对应点之间的距离． 【详解】 由可知到的距离为1， 即点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 点所围成的图形面积为． 故答案为：． 例5．（2022·北京大兴·高一期中）是关于x的方程的一个根，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数根的特点可知两复数根是互为共轭复数，再利用韦达定理即可求解. 【详解】 是关于x的方程的一个根，另一个根为 由韦达定理得：，解得： 故答案为：. 例6．（2022·江苏·辅仁高中高一期中）已知复数，为正整数，记所有可能取值的和为复数z，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据等比数列求和公式和复数的运算法则即可计算. 【详解】 因为， 则 . 故答案为：. 例7．（2022·北京大兴·高一期中）已知复数（a，），且． (1)若z的实部和虚部相等，求z对应的点的坐标； (2)在复平面内z对应的点的集合是什么图形？并画出此图； (3)若，求a，b的值． 【答案】(1)； (2)圆，图形见解析； (3)，或 【解析】 【分析】 （1）根据复数实部和虚部的定义，结合复数模的计算公式进行求解即可； （2）根据复数模的计算公式，结合圆的定义进行求解即可； （3）根据复数模的计算公式，解方程组进行求解即可. (1) 因为z的实部和虚部相等， 所以，因为，所以， 当时，；当时，， 因此z对应的点的坐标为； (2) 因为， 所以有，它表示在复平面内z对应的点到原点的距离为， 即在复平面内z对应的点是以为圆心，为半径的圆，图形如下图： (3) 因为， 所以， 又因为， 所以， 于是有，或. 例8．（2022·广东·广州市第六十五中学高一期中）已知复数为虚数单位． (1)求； (2)若复数满足为实数，求． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据，利用复数的除法运算求解； （2）先化简复数，再根据为实数求解. (1) 解：因为复数， 所以 ； (2) 因为复数，， 所以， 因为为实数，所以， 所以，则. 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·湖南师大附中高一期中）复数的共轭复数是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案. 【详解】 , 故的共轭复数为 ， 故选：B 2．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）若复数，则的虚部为（       ） A．1 B．