专题06 经典三类球：外接球、内切球、棱切球-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题06 经典三类球：外接球、内切球、棱切球 【考点预测】 考点一：正方体、长方体外接球 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 考点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为. 考点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题. 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以. 考点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 考点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 考点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： . 考点七：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 考点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 考点九：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【典型例题】 例1．（2022·河北邢台·高一阶段练习）已知菱形ABCD的边长为，，将△ABD沿BD折起，使A，C两点的距离为，则所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 确定折起后三棱锥A-BCD为正四面体，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，正方体的对角线就是外接球的直径，此球也是三棱锥A-BCD的外接球．由此计算可得球表面积． 【详解】 由已知得为等边三角形，∴对角线 将沿BD折起，使A，C两点的距离为，∴折起后三棱锥A-BCD为正四面体，各棱长都是， 将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱， 设正方体的棱长为a，则正方体的面对角线为，所以正方体的体对角线为，其中R为正方体的外接球半径，， 由于正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球， ∴正四面体ABCD的外接球表面积为 故选：B. 例2．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由三角形面积公式求得，由正弦定理求得底面三角形外接圆半径，设分别是和的外接圆圆心，则的中点是三棱柱的外接球球心，求球半径后可得表面积． 【详解】 设，因为， 所以，， 而，所以(于是是外接圆的半径)，，即， 如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心， ， 所以外接球为. 于是球的表面积为. 故选：C. 例3．（2022·湖南·长郡中学高一期中）如图，在正四棱台中，，，若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 作正棱台的轴截面.设内切球的半径为，利用勾股定理得到，解得，从而可求出该球的表面积. 【详解】 如图，作该正棱台的轴截面. 其中E，F，M，N分别是AB，CD，，的中点，H，K是MN，EF的中点，G是内切球的球心，H，K是内切球和上、