第01讲 空间直线与平面（核心考点讲与练）2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第01讲 空间直线与平面（核心考点讲与练） ( 考点 考向 ) 一、空间间位置关系的集合语言 集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点在直线上，记作：；点不在直线上，记作； 点在平面内，记作：；点不在平面内，记作； 直线在平面内（即直线上每一个点都在平面内），记作； 直线不在平面内（即直线上存在不在平面内的点），记作； 直线和相交于点，记作，简记为； 平面与平面相交于直线，记作． 二、平面的三个公理及推论 1.公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 符号语言表述： 用途：证明“点在面内”、“线在面内”. 2.公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图， 符号语言表述：三点不共线有且只有一个平面，使． 用途：证明“两平面重合”、“多点共面”、“点线共面”. 3.公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图： 符号语言表述：． 用途：证明“多点共线”、“多线共点”. 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线． 4.推论 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 三、空间中的平行关系 1.平行直线 (1)平行公理 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. (2)基本性质4(空间平行线的传递性) 平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 2.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 3.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b 4、 空间中的垂直关系 1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及其推论 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 ⇒l⊥α 推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 ⇒b⊥α 推论2 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α ( 方法 技巧 ) 1.异面直线的判定方法 2.求异面直线所成的角的