2021-2022学年必修二素养提升专题八 角平分线问题

2021-2022学年必修二素养提升检测（湘教版） 专题八 解三角形 角平分线问题（解析版） 方法一：利用角平分线定理解决问题 角平分线定理：三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．若CD平分，则 【范例1】（2022河南安阳高一检测）中，点在上，平分．若，，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】：如图所示： ，，， 平分，， ，，，， ，， ，故选：． 【范例2】．（2022·江苏无锡高一期中）在中，已知的平分线交于点，且．若，则　　 A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解析】：平分，， 设，则，由正弦定理：①② ①②可得：，可求得：， ． 根据余弦定理：， 整理可求得：．则．故选：． 【范例3】（2022四川绵阳高一期中）如图，在中，角，，所对的边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长． 【解析】：（1）， ， ，，． （2）在中，由余弦定理的， 解得或（舍． 是的平分线，， ． 方法二：利用面积关系解决问题 在△ABC中，CD是的平分线，由的等量关系来解决问题，可以使问题简洁易懂。 【范例1】（2022·江苏盐城·高一期中）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为、、，若，角A的角平分线交BC于点D，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，由正弦定理得：，则，由余弦定理可得：， ，所以，由，有，得， 因为，所以，，，，由余弦定理可得. 故选：D. 【范例2】．（2021·浙江·慈溪中学高三期中）已知，内角、、所对的边分别是、、，，的角平分线交于点．若，则______，的取值范围是______ 【答案】          【解析】：已知，由正弦定理得． 又因为为的角平分线，可得面积关系为， 记，则有， 可得， 由余弦定理， 得，即． 又，即， 所以，，此时，即． 故答案为：；. 【范例3】．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量．令函数． (1)求函数的最大值； (2)中，内角的对边分别为的角平分线交于．其中，函数恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) 【解析】(1)， ， 的最大值为2； (2)由恰好为函数的最大值可得， 即， ，故，故，故， 又， 因为，故， 整理得到：，所以. 故， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为. 方法三：利用正余弦定理解决问题 【范例1】．（2022陕西咸阳高三专题练习）在中，角所对的边分别为，角的角平分线交于点，若，且，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由正弦定理可得， 即，所以， 又因为，所以， 由角的角平分线交于点，可得， 所以由余弦定理可得， 因为，所以，即， 整理可得， 由余弦定理可得.故选：B. 【范例2】．（2022银川二中高一检测）在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设，则， 设，在中，， 在中，， 两式相除可得， 在中，，即， 整理可得，解得，（负值舍去）， ，解得．故选：． 【范例3】．（2022·江苏·昆山经济技术开发区高级中学高一期中）已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点下列结论正确的是（       ） A． B． C．的面积为 D．在的外接圆上，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】对于A， 由余弦定理可知, 为的平分线, , 在中,由正弦定理可得,故A错误 对于B，如图,在中, 在中,由余弦定理得 ,故B正确; 对于C，故C正确; 对于D，, 为的外接圆的直径,的外接圆的半径为1, 显然当取得最大值时,在下方,, 设,则,, 由正弦定理得, ,其中 当时,取得最大值,故D正确.故选:BCD. 【素养提升体验】 1．（2021·安徽滁州高一检测）中，，，，则的角平分线的长为　　 A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】：在中，因为，，， 则由余弦定理可得 ，解得， 所以， 根据角平分线的性质可得： ，所以，， 由余弦定理得， ，则，故选：． 2．（2022·贵州·贵阳市民族中学模拟预测（理））在中，，，的角平分线的长为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理得：，即， 又，，， ，则，， ， 在中，由正弦定理得：，. 故选：C. 3．（2022·全国·高三专题练习）中，为线段上的点，则（     ） A． B．若D为中点，则线段长度为13 C．若为的角平分线，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】，所以A正确； D为中点时，，，，所以B错误； 若为角的角平分线，根据内角平