2021-2022学年必修二素养提升专题五 平面向量新运算

2021-2022学年必修二素养提升检测（湘教版） 专题四 平面向量新运算（解析版） 1．（2022·银川二中高一专检测）定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（        ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由已知可得，，则， 因此，. 故选：A. 2．（2021·北京市第五中学高一期中）对于非零向量，定义运算”×”：，其中为的夹角．设为非零向量，则下列结论中不成立的是（　　） A． B．若，则 C． D． 【答案】C 【解析】A：因为，故A正确； B：因为，所以，即或，所以，故B正确； C：因为（为与的夹角）， 而（为的夹角，为的夹角）， 所以与不一定相等，故C错误； D：因为，故D正确. 故选：C. 3．（2022·全国·高三专题练习）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定：①为同时与垂直的向量；②，三个向量构成右手系(如图1)；③如图2，在长方体中，，则下列结论错误的是（       ） A． B．长方体的体积 C． D． 【答案】C 【解析】对于A：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系， 且，， 所以，故，所以选项A正确； 对于B：长方体的体积为， 又因为，所以长方体的体积，故选项B正确； 对于C：根据定义可得：，，所以，故选项C不正确； 对于D：因为，且与同向共线，，且与同向共线，又因为与同向共线，所以，且与同向共线，故选项D正确； 所以结论错误的是选项C， 故选：C. 4．（2021·云南省永善县第一中学高一阶段练习）设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关.若，，线性相关，则（       ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】A 【解析】依题意，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数，，， 使得成立， 故，由得，，代入，得，由于，，不全为0.故，则. 故选：A 5．（2020·陕西·千阳县中学高二期末（理））平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到维向量，维向量可用表示．设，，规定向量与夹角的余弦为．当，时，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， ， ， ， 所以， 故选：D. 6．（2022·山东·高一阶段练习）设向量，，定义一种向量积．已知向量，，，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是（       ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】因为， 所以由题意得， 因为，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以， 所以当时，取得最大值4，故选：D 7．（2021·云南师大附中高一期中）平面内任意给定一点和两个不共线的向量，，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量都可以唯一表示成，的线性组合，，则把有序数组称为在仿射坐标系下的坐标，记为，在仿射坐标系 下，，为非零向量，且，，则下列结论中（       ） ① ②若，则 ③若，则     ④ 一定成立的结论个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】在仿射坐标系下，设，因为，，所以，，所以，所以，①正确； 若，则，所以， ，故②不一定正确； 因为，所以存在唯一的实数，使得，则，所以，，所以，所以③正确； ，由②知，，所以④不一定正确， 所以正确的有2个， 故选：B 8．（2021·江苏·金陵中学高三阶段练习）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，把点绕点A逆时针方向旋转，得到点， 设，则， 所以，解得，， 所以点的坐标为， 故选：D. 9．（2020·全国·模拟预测（理））定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足下列条件：(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)对于任意的，恒有，现给出下面结论的编号， ①.②.③.④.⑤. 则以上正确的编号为（       ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①⑤ 【答案】B 【解析】由于，又对于，恒有， 显然有，即， 则对于任意的恒成立， 显然有成立， 即，则，故序号①错误，进而， ∵，于是，得，即序号④正确. 再由得，得， ∴，显然序号②正确.从而序号③错误， 再由②，故序号⑤错误. 综上知本题正确的序号为②④. 故选：B. 10．（2020·全国·高一课时练习）对于非零向量，，定义一种向量积：.已知非零向量，的