2021-2022学年必修二素养提升专题四 平面向量的数量积

2021-2022学年必修二素养提升检测（湘教版） 专题四 平面向量的数量积（解析版） 方法一：利用定义法求解数量积 方法依据：非零向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ 【范例1】．（2022·山东·烟台二中高一阶段练习）已知,向量的夹角为,则（       ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】因为，向量的夹角为， 所以， 故选：C. 【范例2】．（2022·四川省科学城第一中学高一阶段练习）在中，是的中点，，点在上且满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：因为，点P在上，且满足， 所以，因为点M是的中点，所以， 所以， 故选：C 【范例3】．（2022·江苏宿迁·高一期中）已知图中的圆，圆的半径均为2，，，均是边长为的等边三角形.设点为圆上的一点，则的最小值为（       ） A．22 B．24 C．-26 D．-48 【答案】B 【解析】因为 所以 当且仅当时，取等号.即的最小值为 故选：B 方法二 利用坐标法求平面向量的数量积 方法依据：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2 cos θ＝＝ 【范例1】．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）已知，，，且，则实数（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：因为，所以， 又，，，所以 ，解得，故选：A. 【范例2】．（2022·浙江温州·高二期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是梯形ABCD内一点（含边界），若，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立如图所示的直角坐标系，设， 则， 所以， 因为，所以， 将代入上式，可得，所以， 又，所以， 当时，的最小值为.故选：C 【范例3】．（2022·山西·二模（理））在菱形中，，点在菱形所在平面内，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由菱形中，，可得且， 设交于点，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立直角坐标系，如图，取中点，则，， 设，则 ， 所以当，时，取得最小值. 故选：C． 方法三 利用转化(基向量)法求平面向量的数量积 【范例1】．（2022·江苏·金湖中学高一期中）已知菱形ABCD的边长为2，，点P是BC的中点，则（       ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】由题意可得： , , 故，故选：C 【范例2】．（2022·浙江台州·高一期中）在菱形中，，，，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知， 因此，. 故选：A. 【范例3】．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）半径为2的圆上有三点满足，点是圆内一点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设交于点，由，可得, 所以四边形为平行四边形， 因为，所以四边形为菱形，且， 所以， 由图可知，， 所以, 因为， 所以, 所以， 因为点为圆内一点，所以， 所以，所以的取值范围为，故选：A 【素养提升体验】 1．（2022·天津市宁河区芦台第一中学高一阶段练习）已知向量满足，，且与的夹角为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， .故选：C. 2．（2022·湖南长沙一中高一期中）已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，， 所以， 则，， 则.故选：B. 3．（2022·浙江浙江·高一期中）已知点，，，，则在方向上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，故在方向上的投影向量为 故选：A 4．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）中，为BC边上一点，DC＝2BD，则＝(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图及题意得，， . 故选：A. 5．（2022·宁夏石嘴山·一模（文））已知中，是的中点，若，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是中点，， .故选：B. 6．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（       ） A．为定值16 B．为定值10 C．最大值为8 D．与的位置有关 【答案】A 【解析】， 设， ， .故选：A 7．（2021·山东淄博·高三阶段练习）在中，已知，，P是边BC垂直平分线上的一点，则（       ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】则，， 故选：C 8．（2022·江苏·金湖中学