7.1.1 数系的扩充和复数的概念-（教师WORD）2021-2022学年高中数学【精讲精练】人教A版必修第二册 新课标辅导

§7.1　复数的概念 §7.1.1　数系的扩充和复数的概念 学业标准 学科素养 1．在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用． 2．在实际问题中感受人类理性思维的作用以及数与现实的联系． 3．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 1．通过复数的相关概念，培养数学抽象核心素养． 2．通过利用复数相关的概念进行计算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　复数的有关概念 　方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示]　没有． 　若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗． [提示]　有解(x＝±i)，但不在实数范围内． ◎结论形成 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__ .全体复数所构成的集合C＝　{a＋bi|a，b∈R}　叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__ . 3．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__ . 导学2　复数的分类 　复数z＝a＋bi(a，b∈R)在什么情况下表示实数？ [提示]　b＝0. 　如何用集合关系表示实数集R和复数集C? [提示]　RC. ◎结论形成 　复数的分类 (1)复数a＋bi(a，b∈R). (2)集合表示 [基础自测] 1．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解析　i，(1－)i是纯虚数，故选C. 答案　C 2．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　) A．3－3i B．3＋i C．－＋i D.＋i 解析　 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A. 答案　A 3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________ . 解析　易知a＝1，b＝－2，所以a2＋b2＝5. 答案　5 4．设m∈R，复数z＝－1－m＋(2m－3)i. (1)若z为实数，则m＝________； (2)若z为纯虚数，则m＝________ . 解析　(1)若复数z＝－1－m＋(2m－3)i为实数， 则2m－3＝0，所以m＝； (2)若z为纯虚数，则－1－m＝0， 所以m＝－1. 答案　(1)　(2)－1 题型一　复数的概念与分类(一题多变) [例1]　(1)(多选题)下列命题中的真命题是(　　) A．若z∈C，则z2≥0 B．2i－1的虚部是2i C．2i的实部是0 D．若a＋bi(a，b∈R)是实数，则b＝0 (2)当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.①是虚数；②是纯虚数． [自主解答]　(1)对于A，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以A为假命题； 对于B,2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，B为假命题； 对于C,2i＝0＋2i，其实部是0，C为真命题． 对于D，因为a＋bi是实数，所以其虚部b＝0， 所以D是真命题．故选C，D. (2)①当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数． ②当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． [答案]　(1)CD　(2)见自主解答 [母题变式] 1．本例(2)中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 解析　当即m＝5时，z是实数． 2．本例(2)中条件不变，当m为何值时，z>0? 解析　因为z>0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 3．已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围． 解析　∵z是虚数，∴log(3－m)≠0，且1＋m>0， 即∴－1<m<2或2<m<3. ∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3)． [素养聚焦] 借助复数的概念和分类，把数学抽象与数学运算等核心素养体现在解题过程中． [规律方法] 复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式． (2)注意分清复数分类中的条件． 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0； ④z＝0⇔a＝0，且b＝0. [触类旁通] 1．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i. (1)当m为何值时，z是实数？ (2)当m为何值时，z是纯虚数？ 解析　(1)要使复数z为实数，需满足 解得