6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-（教师WORD）2021-2022学年高中数学【精讲精练】人教A版必修第二册 新课标辅导

§6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 学业标准 学科素养 1．掌握数乘向量的坐标运算法则． 2．理解用坐标表示两向量共线的充要条件． 3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法. 1．通过数乘向量的坐标运算，培养数学运算等核心素养． 2．根据两向量共线的坐标表示，提升逻辑推理和数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　数乘运算的坐标表示 　设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.试求3a和2a－b. [提示]　3a＝3(x1i＋y1j)＝3x1i＋3y1j， 2a－b＝(2x1－x2)i＋(2y1－y2)j. 　3a与2a－b的坐标分别是什么？ [提示]　(3x1,3y1)，(2x1－x2,2y1－y2)． ◎结论形成 (1)符号表示：已知a＝(x1，y1)，则λa＝λ(x1，y1)＝__(λx1，λy1)__ . (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 导学2　平面向量共线的坐标表示 已知下列几组向量： ①a＝(0,2)，b＝(0,4)；②a＝(2,3)，b＝(4,6)； ③a＝(－1,4)，b＝(2，－8)；④a＝，b＝. 　上面几组向量中，a与b有什么关系？ [提示]　①②中b＝2a；③中b＝－2a；④中b＝－a. 　以上几组向量中，a，b共线吗？ [提示]　共线． ◎结论形成 　(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是__x1y2－x2y1＝0__ . [基础自测] 1．下列各对向量中，共线的是(　　) A．a＝(2,3)，b＝(3，－2) B．a＝(2,3)，b＝(4，－6) C．a＝(，－1)，b＝(1，) D．a＝(1，)，b＝(，2) 答案　D 2．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　) A．－9　　　　　 B．9 C．3 D．－3 答案　B 3．已知a＝(2,1)，b＝(－1,4)，则2a－3b＝________ . 答案　(7，－10) 4．已知P(2,6)，Q(－4,0)，则PQ的中点坐标为________ . 解析　根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1,3)． 答案　(－1,3) 题型一　平面向量数乘运算的坐标表示 [例1]　(1)已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　) A.　　　　　　　 B. C．(－1，－) D．(8,1) (2)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8，10)，求＋2，－的坐标． [自主解答]　(1)＝(－) ＝ ＝(－8,1)＝，∴＝. (2)∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)， ∴＋2＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)． －＝(－8,4)－(－10,14) ＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3)． [答案]　(1)A　(2)见自主解答 [规律方法] 平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． [触类旁通] 1．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解析　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1,2)－(2,1) ＝－＝. 题型二　向量共线的判定 [例2]　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ＝(　　) A. B. C．1 D．2 (2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？ [自主解答]　(1)A (2)＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线． 又∵＝－2，∴，方向相反． 综上，与共线且方向相反． [规律方法] 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． [触类旁通] 2．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 解析　ka＋b＝k(1,2