6.3.1 平面向量基本定理-（教师WORD）2021-2022学年高中数学【精讲精练】人教A版必修第二册 新课标辅导

§6.3　平面向量基本定理及坐标表示 §6.3.1　平面向量基本定理 学业标准 学科素养 1．了解平面向量基本定理及其意义． 2．了解向量基底的含义．在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量. 1．通过平面向量基本定理的推导过程的学习，培养逻辑推理等核心素养． 2．借助平面向量基本定理及其应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　平面向量基本定理 　在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想：平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？ [提示]　可以． 　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？ [提示]　可以．根据是数乘向量和平行四边形法则． 　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ [提示]　不一定．当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． ◎结论形成 条件 e1，e2是同一平面内的两个__不共线向量__ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使　a＝λ1e1＋λ2e2　 基底 把__不共线__{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 [基础自测] 1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下不能作为基底的是(　　) A．{e1，e2}　　　　　　　 B．{e1＋e2,3e1＋3e2} C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2} 答案　B 2．若a，b不共线，且la＋mb＝0(l，m∈R)，则l＝________，m＝________ . 答案　0　0 3．若是△ABC的中线，已知＝a，＝b，若{a，b}为一个基底，则＝________ . 答案　(a＋b) 4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________ . 解析　由图可知，＝4e1＋3e2. 答案　4e1＋3e2 题型一　对基底的理解 [例1]　(多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A.与　　　　　 B.与 C.与 D.与 [自主解答]　A中与不共线；B中＝－，则与共线；C中与不共线；D中＝－，则与共线． 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故AC满足题意． [答案]　AC [规律方法] 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 [触类旁通] 1．(多选题)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选A，C，D. 答案　ACD 题型二　用基底表示向量 [例2]　如图所示，已知在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边的中点．若＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示向量，. [自主解答]　＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋ ＝－＋＋＝b－a. [规律方法] 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至可用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． [触类旁通] 2．如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量. 解析　易得＝＝b，＝＝a， 由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a. 由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b. 所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b， 由于{a，b}为基底， 所以解得 所以＝a＋b. 题型三　平面向量基本定理的应用(一题多变) [例3]　 如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求. [自主解答]　＝＋A＝＋ ＝＋(－)＝a＋b. 因为与共线， 故可设＝t＝a＋b. 又与共线，可设＝s， ＝＋s＝＋s(－) ＝(1－s)a＋sb， 所以解得 所以＝a＋b. [母题变式] 　 若本例中“点M是