专题04 解三角形范围与最值问题-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题04 解三角形范围与最值问题 【考点预测】 1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 2.解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围. 【典型例题】 例1．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边BC上一点，，且，和的面积分别为，，对于给定的正数m，当取得最小值时，等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由可推出，即，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出取到最小值时，化简得解. 【详解】 由题可知，由三角形面积公式可得： ，化简得，即， =，当今当即时能取到最小值，此时==. 故选：A . 例2．（2022·江苏扬州·高一期中）已知锐角中，角对应的边分别为，，若， 则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件，利用正弦定理化边为角可求A，再由利用角表示边，结合基本不等式求其最小值. 【详解】 ∵， ∴ ∴， ∴，因为， ∴，即，又， ∴， ∵   ， ∴    ∴   ， ∴    ∴    ∴   ， ∵   为锐角三角形， ∴   ， ∴ ，当且仅当时取等号， ∴ 的最小值是， 故选：D. 例3．（2022·安徽省含山中学三模（文））的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知的面积为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式可求. 【详解】 因为，故． 又，等号当且仅当时取到. 故选：C． 例4．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））在中，角、、的对边分别为、、，若，的面积为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出角的值，利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】 因为且，则， 因为，所以，， 由余弦定理可得，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 例5．（2022·重庆市第二十九中学校高一期中）在面积为S的中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则S的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由条件结合三角形的面积公式可得，由均值不等式可得出的最大值，从而得出答案. 【详解】 由可得,即 可得 所以 ，当且仅当时等号成立 所以S的最大值为 故选：B 例6．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高一阶段练习（理））如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 设， ，找出、与CD的关系，进而将表示成关于的函数，从而求其最大值． 【详解】 在ABC中，设， ， 由余弦定理得：， ∵ACD为正三角形， ∴， ， ， 在ABC中，由正弦定理：， ∴， ∴， ∴， ， ∵，∴为锐角，， ∴， ， 当时，． 例7．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得；利用余弦定理可构造等量关系求得，进而得到；利用三角形面积公式，将表示为以为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值. 【详解】 由得：， 即，由正弦定理得：； 由余弦定理得：，， 即，，， ， ，， ， 则当时，，. 故选：A. 例8．（2022·黑龙江·大庆中学高一阶段练习）在中，，，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正弦定理边角互化，把转化成角的关系式， 进而借助三角恒等变换转化成角的三角函数式子， 进而运用整体代换法求解其取值范围即可． 【详解】 根据正弦定理得： ， 故答案为：． 例9．（2022·