第11讲 与圆有关的证明与综合题（2022青浦二模+名校预测25题解法分析+经典变式练）-冲刺2022年中考数学压轴题全揭秘（上海专用）

第11讲 与圆有关的证明与综合题 -（2022青浦二模+名校预测25题解法分析+经典变式练） 题型一：垂径定理 1．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）已知：△ABC内接于半径为2的⊙O，BC=，射线BO交边AC于点E． (1)如果点E恰好是边AC的中点，求边AB的长； (2)如果△ABE∽△ACB，求的大小； (3)当△AEO为等腰三角形时，求的大小． 【答案】(1)；(2)75°；(3)70°或50° 【分析】（1）利用垂径定理得到BE垂直平分AC，即可得到AB=BC； （2）根据相似三角形的性质得到∠BAE=∠CAB，∠ABE=∠ACB，∠AEB=∠ABC，由OA=OB，得到∠ABO=∠BAO，利用∠AOB=2∠C，得到4∠C=180°，求出∠ACB =45°，得到∠ABE=∠ACB =45°，连接OC，过O作OH⊥BC于H，则BH=CH=BC=，利用三角函数求出∠OBH=30°，即可求出∠ABC； （3）∠OCB=∠OBH=30°，设∠AEB=x，则∠ACO=∠CAO=x-60°，分三种情况，当AO=AE时， 当AO=EO时， 当AE=OE时，分别列方程求出x，从而得到∠ABC的度数． (1)解：∵射线BO交边AC于点E，且点E是AC的中点， ∴BE⊥AC，AE=CE， ∴BE垂直平分AC， ∴AB=BC=； (2)∵△ABE∽△ACB， ∴∠BAE=∠CAB，∠ABE=∠ACB，∠AEB=∠ABC， ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO， ∵∠AOB=2∠C，∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°， ∴4∠C=180°， ∴∠ACB=45°，∠ABE=∠ACB =45°， 连接OC，过O作OH⊥BC于H，则BH=CH=BC=， ∵OB=2， ∴cos∠OBH=， ∴∠OBH=30°， ∴∠ABC=∠ABE+∠OBH=75°； (3) ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBH=30°， 设∠AEB=x，则∠ACO=∠CAO=x-60°， 当AO=AE时，∠AOE=∠AEO=x， x+x+x-60°=180°，解得x=80°， ∴∠ABO=40°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=70°； 当AO=EO时，∠EAO=∠AEO=x-60°， x=x-60°，无解； 当AE=OE时，∠EAO=∠AOE=x-60°， 2（x-60°）+x=180°， 解得x=100°， ∴∠ABO=20°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=50°； 综上，∠ABC的度数为70°或50°． 【点睛】此题考查了圆的垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质，等腰三角形的等边对等角求角度，三角函数，熟记个知识点是解题的关键． 题型二：弧、弦、圆心角之间的关系 1．（2022·上海市青浦区教育局二模）如图，已知是的直径，是上一点，点、在直径两侧的圆周上，若平分，求证：劣弧与劣弧相等． 【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示： ∵平分， ∴OE=OF， ∵OC=OD， ∴（HL）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的联系是解题的关键． 题型三：点、直线、圆之间的位置关系 1．（2022·上海市青浦区教育局二模）如图，在直角梯形中，，，是上一定点，，，，，点是上一个动点，以为圆心，为半径作，若与以为圆心，1为半径的有公共点，且与线段只有一个交点，则长度的取值范围是________________． 【答案】 【分析】由题意可得当与AD相切时，PC为最小值；当与内切时，则PC为最大值，进而问题可求解． 【详解】解：如图所示， 当与AD相切时，切点为M，此时PC为最小值， ∵PM⊥AD，， ∴； 当与内切时，切点为Q，此时PC为最大值， ∴， 综上所述：长度的取值范围是； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查切线的性质及圆与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质及圆与圆的位置关系是解题的关键． 2．（2022·上海·二模）如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 _____s． 【答案】4或8##8或4 【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即可． 【详解】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图1，过P作PE⊥CD于E ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30° ∴OP＝2PE＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切 ∴⊙P移动所用的时