定积分与微积分基本定理讲义-2021-2022学年高二数学北师大版选修2-2

定积分与微积分基本定理-专题 【学习目标】 1.通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景； 借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念并会解一些简单的积分问题。 2.了解微积分基本定理的含义与应用。 【课堂讲解】 1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习（理））给出以下命题：（1） �2�� ′ = 2���； （2）0 2� cos� �� = 4；（3）� � 的原函数为� � ，且� � 是以 2为周期的函数，则 0 � � � �� = 2 �+2 � � �� ，（4）设函数� � 可导，则 lim ��→0 � 1+�� −� 1 2�� = 1 2 �' 1 .其中正确命题的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】 对于（1）：运用乘法的求导法则可判断； 对于（2）：将原式变形为 0 2� cos� �� = 0 � 2 cos� ��+ � 2 3� 2 cos� ��+ 3� 2 2� cos� ��，逐一计 算可判断； 对于（3）：根据积分的定义和周期函数的应用可得 0 �� � �� = � � − � 0 ， 2 �+2 � � �� = � �+2 − � 2 = � � − � 0 ，可判断； 对于（4）：利用在某一点的导函数的定义可判断. 【解】 对于（1）： �2�� ' = 2���+�2�� = 2�+�2 ��，故（1）错误； 对于（2）： 0 2� cos� �� = 0 � 2 cos� ��+ � 2 3� 2 cos� ��+ 3� 2 2� cos� �� = 0 � 2 cos� ��+ � 2 3� 2 −cos� ��+ 3� 2 2� cos� �� = sin� 0 � 2+ −sin� � 2 3� 2+sin� 3� 2 2� = 1+2+1 = 4，故（2）正确； 对于（3）： 因为� � 的原函数为� � ，且� � 是以 2为周期的函数， 所以 0 � � � �� = � � − � 0 ， 2 �+2 � � �� = � �+2 − � 2 = � � − � 0 ， 所以 0 � � � �� = 2 �+2 � � �� ，故（3）正确； 对于（4）：设函数� � 可导，令� = 1 �� ，则 lim ��→0 � 1+�� −� 1 2�� = 1 2 lim ��→0 � 1+�� −� 1 �� = 1 2 �' 1 ，故 （4）正确， 所以.其中正确命题的个数为 3， 故选：C. 【考点分析】 本题考查求导函数求积分的定义和运算法则. 2．（2020·全国·高三专题练习（理））二项式 �� − 1 3 � > 0 展开式的第二项的系数为-3， 则 −2 � �2�� 的值为（ ） A．3 B．7 3 C．8 3 D．2 【分析】 二项式 �� − 1 3 � > 0 的展开式的通项公式得�2 = ∁31(��)2( − 1) =− 3�2�2．由于第二 项的系数为−3，可得−3�2 =− 3，即�2 = 1，解得�，再利用微积分基本定理即可得出． 解：二项式 �� − 1 3 � > 0 的展开式的通项公式得�2 = ∁31(��)2( − 1) =− 3�2�2． ∵第二项的系数为−3， ∴ −3�2 =− 3， ∴ �2 = 1，� > 0，解得� = 1． 当� = 1时，则 −2 � �2 �� = −2 1 �2 �� = � 3 3 |−21 = 3． 故选：�． 【考点分析】 本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用，考查了推理能力与计算能力． 3计算 1 e 1 � ��的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．−1 【分析】 找到� = 1 � 的原函数� = ln�，利用微积分基本定理，即得解 由题意， 1 e 1 � �� = ln�|1� = ln� − ln1 = 1 故选：B 4.计算: (1) 1 2 |3 − 2�|d� ; (2) 0 2π |sin�|d� . 分析：（1）将� = 3 − 2� , � ∈ 1,2 表示为分段函数� = 3 − 2�, 1 ≤ � ≤ 3 2 2� − 3, 3 2 ≤ � ≤ 2 ，利用积分区间 的可加性得结果；（2）同（1）相似. 试题解析： (1) 1 2 |3 − 2�|d� = 1 3 2 (3 − 2�)d� + 3 2 2 (2� − 3)d� = (3� − �2)|1 3 2 + (�2 − 3�)|3 2 2 = 1 2 . (2)∵(-cos x)'=sin x,∴ 0 2π |sin�|d� = 0 π |s