专题02 平面向量范围与最值问题-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题02 平面向量范围与最值问题 【考点预测】 平面向量范围与最值问题常用方法： 1.定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2.坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3.基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【典型例题】 例1．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）若点均位于单位圆上，且，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由可求得，利用向量线性运算和数量积的运算性质可求得，由可求得最大值. 【详解】 设为圆心，则， ，解得：； ； ，. 故选：A. (多选题)例2．（2022·重庆八中高一期中）已知正的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足，有，且，则（       ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 以点为原点、边为x轴建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设出，利用平面向量的坐标运算得到，再结合角的范围逐一验证各选项. 【详解】 以点为原点、边为x轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则，，，； 因为，所以点在以为圆心、1为半径的圆上， 设，则， ，， 又因为， 所以， 即，即， 又因为，所以，即； 对于A：因为，所以， 则，即的最小值为， 即选项A正确； 对于B：因为，所以， 则，即的最大值为， 即选项B正确； 对于C、D：因为且， 所以， 因为，所以 所以，所以， 即的最小值为，最大值为， 即选项C错误，选项D正确. 故选：ABD. 例3．（2022·江苏·南京外国语学校高一期中）如图，在矩形ABCD中，，，，，则______；G是矩形ABCD所在平面上一点，且，若，则的最小值为______． 【答案】     44；     . 【解析】 【分析】 空一：运用平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质进行运算即可； 空二：建立平面直角坐标系，利用平面数量积的坐标表示公式、平面向量线性运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】 空一： 因为ABCD是矩形，所以，因为，， 所以； 空二：建立如图所示的直角坐标系， ， ，因为，所以， 即， 因此， 因为，所以， 因为G是矩形ABCD所在平面上一点， 所以有，且， 因此， 当时，即时，有最小值，最小值为， 故答案为：；. 例4．（2022·上海市复旦中学高一期中）已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 设，则由数量积公式可得 ，再由点的轨迹找出到的距离最大值，从而得出所求最值. 【详解】 设与所成夹角为 则 因为，，所以的夹角为 设，则 所以，设到的距离为 则，所以 因为，所以点落在以点为圆心，以为半径的圆上 所以到的距离最大值为 所以的最大值为 所以的最大值为 故答案为： 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是利用向量的运算得出 ，再结合圆的对称性得出所求最值. 例5．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））如图，在等腰中，已知，，、分别是边、的点，且，，其中且，若线段、的中点分别为、，则的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】 直接利用向量的数量积和向量的线性运算的应用和模的运算的应用整理成关于以为变量的二次函数的形式，进一步利用二次函数的性质的应用求出结果． 【详解】 在等腰中，∵，， ∴； ∵、分别是边、的点， ∴，， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， 其中，，即， ∴当时，取得最小值， ∴的最小值是． 故答案为：． 例6．（2022·江苏省沙溪高级中学高一期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】 （1）由推出，即，由推出，两边平方得到，根据不等式知识，结合，可得； （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，根据平行四边形法则可证结论成立； （ii）延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，将转化为，结合图形可求出结果. (1) 因为，所以， 因为点为的外心，所以，即，， 因为，所以， 所以， 设三角形的外接圆的半径为，则， 由得， 所以