专题01 平面向量的基本运算-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题01 平面向量的基本运算 【考点预测】 知识点一.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 知识点二. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则　　　 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点四.平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数 任一向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 知识点五.平面向量共线 （1）线性表示 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. （2）坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0, 知识点六．两个向量的夹角 1．定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． 2．范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b. 知识点七．平面向量的数量积 1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． 规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0. 2．a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 知识点八．数量积的运算律 1．交换律：a·b＝b·a. 2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． 知识点九．向量数量积的性质 1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥ba·b＝0. 3．a·a＝|a|2，. 4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角) 5．|a·b|≤|a||b|. 知识点5．数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： 1．a·b＝a1b1＋a2b2. 2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0. 3．|a|＝. 4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角) 【典型例题】 例1．（2022·江苏·金陵中学高一期中）已知，若，则的值为（       ） A．－2 B．－ C． D．2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的平行的条件及同角三角函数的商数关系即可求解. 【详解】 因为，， 所以，解得， 所以. 故答案为：D. 例2．（2022·浙江杭州·高一期中）若非零平面向量，，满足，，则向量与的夹角余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，两边分别乘以向量得到三个式子，化简可得，根据向量的夹角公式可求得答案. 【详解】 由题意可得： ，；；； 三式联立消去和可得：， 结合得：， 故 ， 故选：B 例3．（2022·北京丰台·高一期中）如图，在直角梯形中，是的中点，，，，，若，则（       ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 由向量的线性运算把用表示后可得． 【详解】 是的中点， ， 又，不共线， 所以，，所以． 故选：C． 例4．（2022·北京丰台·高一期中）已知非零向量满足，且，