专题03 玩转正余弦定理-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题03 玩转正余弦定理 【考点预测】 1．正弦定理 ＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)． 常用变形： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝，sinB＝，sinC＝； ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA． 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC cosA＝，cosB＝，cosC＝． 3．三角形中的常见结论 (1)A＋B＋C＝π． (2)在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)△ABC的面积公式 ①S＝a·h(h表示a边上的高)； ②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝； ③S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)； ④S＝，其中P＝(a＋b＋c)． 4．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 5．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度＝，即坡角的正切值． 【典型例题】 例1．（2022·北京丰台·高一期中）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，条件①：；条件②：.求： (1)的值； (2)角的大小和的面积. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）若选条件①，利用余弦定理即可求得c边；若选条件②，利用同角三角函数和正弦定理即可求得c边. （2）利用同角三角函数和正弦定理可得角B,利用面积公式求解面积即可. (1) 条件①：当时，， 整理得，解得或（负值舍去） 故. 条件②：,所以 由正弦定理得整理得解得. (2) 条件①： 由正弦定理得整理得解得 因为，所以，则. 条件②：,所以 ,所以，则. 例2．（2022·四川凉山·高一期中（理））分别是△内角所对的边．已知， ． (1)求△外接圆半径； (2)若是边中点且线段，求△的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式恒等变形，最后利用正弦定理求出外接圆半径即可； （2）由（1）及余弦定理可得，再利用平面向量的加减运算可得 ，两边同时平方再结合即可求出，面积即可求解. (1) 由已知条件可知， 设△外接圆的半径为，由正弦定理得 ，即， ∵，∴，∴， 又∵，∴， 由正弦定理得，即， (2) △中由余弦定理得， 即①， ∵是边中点，∴， 两边同时平方可得， 又∵，∴，即②， 联立①②解得， ∴. 例3．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）在中分别、、分别是角、、的对边，且满足 (1)求角的大小； (2)现在给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，______.______，求的面积. (3)当满足时，求的取值范围使得这样的有且只有两个（直接写出结论） 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【解析】 【分析】 （1）用正弦定理求得，即可求出； （2）选条件①②：直接求出,得到，这与相矛盾，故这样的不存在，舍去. 选条件①③：由余弦定理解得：，判断出为等腰三角形，求出，直接用面积公式求面积； 选条件②③：由角判断出为等腰三角形，直接用面积公式求面积. （3）利用正弦定理建立不等式，解出的取值范围. (1) 在中，对，用正弦定理得：，所以，即. 因为，所以，所以. 因为，所以. (2) 选条件①②：在中，有，，. 由可得：,所以，这与相矛盾，故这样的不存在，舍去. 选条件①③：在中，有，，. 由余弦定理可得：,即，解得：.所以为等腰三角形，所以,，所以. 选条件②③：在中，有，，. 由可得：.所以为等腰三角形，所以,所以. (3) 如图示， 要使符合题意的有且只有两个，只需以C为圆心，以a为半径作弧与射线AB（不含A）有且仅有两个交点. 过C作CD⊥AB于D,则. 只需满足，即，解得：. 所以的取值范围为. 例4．（2022·江苏·金陵中学高一期中）在平面四边形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝，∠DCB＝，，BC＝2． (1)求sin∠CBD； (2)求AC的长． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）在中，由余弦定理求得的长，