第17章 勾股定理（打包4份）-（教学课件）2022春【鸿鹄志·名师测控】八年级下册初二数学（人教版）湖北襄阳专版

人教版·八年级下册 数学 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第1课时　勾股定理 导入新课 有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形 直角三角形的概念 你知道在古代，人们如何称呼直角三角形的三边吗？ 勾 股 弦 勾、股、弦之间有什么关系呢？ 探究新知 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 你从图片中发现了什么？ 观察 (1)三个正方形的面积有什么关系？　　 两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积 思考 S S1 S2 等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和. S=S1+S2， a b c (2)图中正方形s1、s2、s所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？ s1 s2 s 即c2=a2+b2. 探究 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)： 这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： 左图： 右图： 方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）： 左图： 右图： 你还有其他办法求C的面积吗？ 根据前面求出的C的面积直接填出下表： A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 知识归纳 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2. 由上面的几个例子，我们猜想： a b c 思考 你能用不同的方式证明命题1吗？ a b b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧. a b c ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明： S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形 （ a、b、c为正数） 勾股定理 a b c 知识归纳 练习 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. （1）已知a=6，c=10，求b； （2）已知a=5，b=12，求c； （3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得52+122=c2 ,c=13; 解：由勾股定理得62+b2=102, b=8; 解：由勾股定理得a2+152=252 ,a=20. 2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积. 解：根据图形正方形E 的边长为: 故E的面积为:252=625. 例题与练习 例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． (1)若a＝ ，c＝4，求b； (2)若c＝8，∠A＝30°，求b； (3)若a∶b＝3∶4，c＝15，求S△ABC. 解：(1)b＝3； (2)b＝ ； (3)S△ABC＝54. 例2　如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长． 解：∵AD⊥BC， ∴在Rt△ADC中， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD中， 例3　如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长． 解：由折叠的性质，得△ACD≌△ACD′， ∴∠D′＝∠D＝90°，CD′