秘籍04 圆的综合-备战2022年中考数学抢分秘籍

秘籍04 圆的综合 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 ①有关圆的证明题 ②有关圆的计算 圆的综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容！圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，难度系数中等。 1．从考点频率看，圆是高频考点，中考对圆的知识点考查，综合能力要求极高！ 2．从题型角度看，以解答题为主，分值10分左右！ 圆常见辅助线的作法 1：连接半径，构造等腰三角形 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理。 2：遇弦添加弦心距或半径 根据垂径定理，连半径，可以构造直角三角形。设未知数，利用勾股定理列方程，求线段的长度。 3：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角解题 在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 4：构造直角或直径 直径所对的圆周角是90°。 5：切线的性质有关的辅助线——添加过切点的半径 利用切线性质，可得半径与切线垂直 6：切线的判定有关的辅助线 （1） 有公共点，连半径，证垂直。（2）无公共点，作垂直，证明与半径相等。 7：与三角形内切圆有关的辅助线 遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算与证明。 中考圆的综合题常见的隐含条件：①同圆所有的半径都相等；②直径所对的圆周角相等；③同弧或等弧所对的圆周角相等。有关圆的解答题综合性特别强，会用到初中阶段所学所有几何知识点，如果所有方法都尝试不行，记得用相似，对应边成比例。 例1、如图， 是 的半径，过点M作 的切线 ，且 ， ， 分别交 于点C，D，求证： 【答案】证明：∵AB是⊙O的切线， ∴ ， ∵MA=MB，OM=OM， ∴ ， ∴OA=OB， ∵OC，OD都是⊙O的半径， ∴OC=OD， ∴OA-OC=OB-OD， 即AC=BD． 【解析】【分析】首先得出 ，推出OA=OB，再利用OA-OC=OB-OD得出结果即可． 例2、如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心， 为半径的 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 的延长线交 于点 ，连接 交 于点 ，求 和 的度数． 【答案】 解：连接 ． 与 相切于点 ， ． ． 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是平行四边形， ． ． 【解析】【分析】连接OB,即可得 ,再由平行四边形得出∠BOC=90°,从而推出∠C=45°,再由平行四边形的性质得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根据圆周角定理即可得出∠E=22．5° 例3、如图， 的直径 交弦(不是直径) 于点P，且 ．求证： ． 【答案】解：连接AC和BD， 在△PAC和△PBD中， ∠A=∠D，∠C=∠B， ∴△PAC∽△PDB， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴PC=PD， ∵AB为直径， ∴AB⊥CD. 【解析】【分析】连接AC和BD，证明△PAC∽△PDB，得到 ，再根据 得到 ，从而得到PC=PD，根据垂径定理得出结果. 例4、（2021·南通）如图， 为 的直径，C为 上一点，弦 的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D， ，连接 . （1）求 的度数； （2）若 ，求 的长. 【答案】（1）解：连接OC，如图， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴OC∥AE， ∴∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC，∠CAD=35°， ∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=90°-∠OAC=55° （2）解：连接OE，OC，如图， 由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°， ∵OA=OE， ∴∠AEO ∠EAO 70°， ∵OC∥AE， ∴∠COE=∠AEO=70°， ∴AB=2，则OC=OE=1， ∴ 的长为 【解析】【分析】（1）先证OC∥AE，可得∠DAC=∠OCA，由OA=OC，可得∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，由 AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，利用∠B=90°-∠OAC即可求出结论； （2）连接OE，OC，由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°， 利用等腰三角形的性质可得∠AEO ∠EAO 70°，根据平行线的性质可得∠COE=∠AEO=70°，利用弧长公式直接求解即可. 例5、（2021·安顺）如图，在 中，AC为 的直径， AB为 的弦，点 E 是 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，交 AB 于点 M ，交 于点 N ，分别连接 EB ， CN . （1）