专题20 平行垂直条件下动点探索的5种类型-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题20 平行垂直条件下动点探索的5种类型 一、探索性问题的一般解题思路 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算． 在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在； 如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在． 二、对命题条件的探索的三种方法 方法1：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． 方法2：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性． 方法3：将几何问题转化为代数问题． 【注意】证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系， 当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系 考向1 线面平行条件下的动点探索 【例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点． （1）证明：平面PAC； （2）在线段BD上找一点H，使得平面PCG，并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）∵E、F分别是BC，BP中点， ∴EF∥PC， ∵平面PAC，平面PAC， ∴EF∥平面PAC． （2）连接AE，与BD相交于H，即为所求点， ∵E、G分别是BC、AD中点， ∴AE∥CG， ∵平面PCG，CG⊂平面PCG， ∴AE∥平面PCG， 又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，平面PCG， ∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF， ∴平面AEF∥平面PCG，平面AEF， ∴平面PCG. 【变式1-1】如图，已知四边形是矩形，，，、分别是线段、的中点，面. （1）证明：； （2）在上找一点，使得平面. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）证明：连结， 因为在矩形中，，，分别是线段的中点， 由勾股定理：得. 又因为面，所以. 又，所以平面. 所以； （2）过作交于，则平面且， 再过作交于， 则平面且， 所以平面平面， 所以平面， 从而满足的点为所求. 【变式1-2】如图，在直三棱柱中，，点M为的中点，点N为上一动点，是否存在点N，使得线段平面？若存在，指出点N的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】存在，N为的中点，证明见解析. 【解析】存在点N使平面，且N为的中点. 连接，如图， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵平面平面， ∴平面. 【变式1-3】如图，在四棱锥中，，，，为边的中点，异面直线与所成的角为.在直线上找一点，使得直线平面，并求的值. 【答案】 【解析】延长至，使得，连接交于点，连接， ∵为的中点，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴为的中点， 又∵为的中点， ∴， 又∵平面，平面，可得平面， ∴直线上存在一点，且，使得直线平面. 考向2 面面平行条件下的动点探索 【例2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点，若线段AC上存在点D满足平面DEF//平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由. 【答案】存在为的中点时使平面DEF//平面ABC1，理由见解析. 【解析】若为的中点，连接， 又E，F分别是棱BC，CC1的中点， ∴， 又面ABC1，面ABC1， 则面ABC1， ∵面ABC1，面ABC1，则面ABC1， 由，则面DEF//面ABC1， 综上，存在为的中点时使平面DEF//平面ABC1. 【变式2-1】在长方体中，已知，为的中点，在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由 【答案】存在，证明见解析． 【解析】存在，当点为线段的中点时，平面平面， 证明：连接， 在长方体中，，． 又因为平面，平面， 所以平面， 又为的中点，为的中点， 所以，且． 故四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，平面，平面， 所以平面平面． 【变式2-2】在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，，EF平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点，在直线CD上是否存在一点G，使得平面平面，请说明理由 【答案】存在且G为中点，理由见解析． 【解析】连接AC交BD于点O，连接OM，OF，取CD的中点G，连接GM，GE， 因为平面ABCD，平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB， 所以， 因为， 所以四边形OMEF是平行四边形， 所以， 因为平面BDF，平面BDF，所 以平面BDF. 因为点G与点M分别为CD与BC的中点， 所以， 因为平面BDF，平面BDF， 所以平面BDF， 而GM∩EM=M，平面平面BDF. 所以存在且G为中点，使平面平面. 【变式2-3】如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？