第14讲 立体几何初步(九种求外接球与内切球模型)-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第14讲 九种求外接球与内切球模型 【必备知识】 模型一:墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长. 使用范围: 3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合 推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径 公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式,即2R,求出. 【典例剖析】 1．四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 四面体的外接球即为以为长、宽、高的长方体的外接球， 球的外接球半径， 球的表面积. 故选：B. 2．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将 ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A．3 B． C．6 D．24 【答案】C 【详解】 解：在正方形ABCD中，，，， 折起后OD，OE，OF两两垂直， 故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球. 因为OD=2，OE=1，OF=1， 所以=， 所以， 所以该三棱锥外接球的表面积为， 故选：C. 3．已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若平面，，，，则球O的表面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：在三棱锥中，平面，，故可将三棱锥补形成如图所示的长方体. 若，，，为球的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球的球面上.设球的半经为，则该长方体的体对角线长为，即， 从而有， 故选：D. 4．如图，在矩形中，，E为中点，把和分别沿折起，使点B与点C重合于点P，若三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 依题意，，，平面，则平面， 又，即有，则， 因此可将三棱锥补形成以为相邻三条棱的长方体， 若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则该长方体的各顶点亦在球的球面上， 设球的半径为，则该长方体的体对角线长为，即， 所以球O的表面积为. 故选：C 5．将一个边长为的正三角形沿其中线折成一个直二面角，则所得三棱锥的外接球的体积为_________. 【答案】 【详解】 由题意得：，，，，即平面； 二面角为直二面角，， 则三棱锥的外接球即为以为长宽高的长方体的外接球， 又， 三棱锥的外接球半径， 三棱锥的外接球体积. 故答案为：. 模型二:对棱相等模型 使用范围:对棱相等的三棱锥 推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体 体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为 【典例剖析】 1．如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意可知，，即三棱锥的对棱相等，先将该三棱锥补充成长方体，如图所示： 设，则，所以，于是三棱锥的外接球直径为，半径为，所以该三棱锥外接球的表面积为：. 故选：C. 2．在△ABC中，，将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的体积为_____________． 【答案】 【详解】 在△ABC中，由余弦定理得，所以． 在三棱锥D—ABC中，． 将三棱锥D—ABC放入长方体，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c， 棱锥D—ABC外接球的半径为R，则， 所以， 所以， 从而三棱锥D—ABC外接球的体积 故答案为： 3．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】 解：根据题意，三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为，，，如图所示， 则，，，解得，，．所以该三棱锥的外接球的半径为，所以该三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为： 4．已知四面体ABCD的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________． 【答案】 【详解】 根据题意，只需四面体ABCD在圆锥的内切球内，下面求四面体ABCD的外接球半径． 如图所示，将四面体放入长方体中，设长方体的长宽高分别为， 则，，，故， 可得四面体ABCD的外接球半径为． 当圆锥的侧面积最小时，该圆锥的内切球即四面体ABCD的外接球， 则此时圆锥的内切球的半径为，底面圆的半径为， 母线长为，所以侧面积为. 故答案为：. 5．在三棱锥中，