专题03 裂项相消法求数列的前n项和-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

3.裂项相消法求数列的前项和 一．边角问题 【例1】（2017年·全国卷）设数列满足. （1）求的通项公式 （2）求数列 的前项和． 【解析】（1）数列满足 时, ∴ ， ∴， 当时,,上式也成立， ∴. （2）， ∴数列的前n项和 . 【方法技巧】 1.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 2.利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.　 3.记住常用的裂项公式 (1)＝－. (2)＝. (3)＝－. 二．结构不良问题 【例2】（黑龙江省双鸭山市第一中学2021-2022学年高三上学期期末）已知数列的前项和为，，给出以下三个命题： ①；②是等差数列；③ （1）从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明； （2）利用（1）中的条件，证明数列的前项和. 【解析】（1）将①②作为条件，③作为结论； 设等差数列的公差为，则由得，，解得， 因为，所以等差数列的通项公式为.所以， 所以， 又因为， 所以，即证；所以③成立； 将①③作为条件，②作为结论； 由及，得， 联立，解得，所以， 所以， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以②成立； 将②③作为条件，①作为结论； 设等差数列的公差为，则，， 由，得， 解得，所以等差数列的通项公式为. 所以，即证，所以①成立； （2）由（1）知，， 所以， 因为数列的前项和为， 所以 ， 当时，，， 所以， 即证数列的前项和. 【方法技巧】结构不良问题，需要在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的. 【演练提高】 1.（2022届高三数学新高考信息检测原创卷）数列的前项和记为，已知，且对，点都在函数图象上． （1）求数列的通项公式； （2）设，求证：． 【解析】（1）由题意得，∴， 两式相减得，∴． 又满足上式，∴． （2）∵， ∴ ． 2.（山东省临沂市2022届高三下学期一模）已知数列的前n项和为，，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前2k项和. 【解析】（1）因为，，当时，，解得，当时， 所以，即，显然，所以， 所以是以为首项为公差的等差数列，是以为首项为公差的等差数列， 所以 ，所以 （2）因为，所以， 所以 3.（华大新联盟2021-2022学年高三上学期1月教学质量测评）已知等差数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式以及前n项和； （2）若，求数列的前2n－1项和. 【解析】（1）依题意，，则， 故， 解得d＝2， ∴， 故， . （2）依题意，得， 故， 故 4.（辽宁省丹东市五校2020-2021学年高三上学期联考）已知等差数列为递增数列，且，都在的图像上. （1）求数列的通项公式和前项和 （2）设，求数列的前项和，且，求取值范围. 【解析】（1）由题意得，即是方程的两个根，即是方程的两个根， 又数列为递增数列，解得，所以等差数列的公差，所以， 所以，； （2）由（1）得， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以. 由 ，即，得， 令， 当n为奇数时，，且， 当n为偶数时，，且， 又，，所以，故取值范围为. 5.（四川省德阳市2021-2022学年高三上学期第一次诊断）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，､､成等比数列. （1）求； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 【解析】（1）设公差为，则， 解得， 所以. （2）∵， ∴当时，， 当时，， 且当时，， 所以， 所以 ∴ . 6.（江西省景德镇市2022届高三第二次质检）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小值. 【解析】（1）在等差数列中，设公差为，则， 由已知得，解得， . （2）由（1）知，， 则， ∴， ，∴要使恒成立，只需，解得， ∴的最小值为2. 7.（内蒙古自治区2021-2022学年高三上学期12月月考）己知数列的前项和为，，数列为等差数列，且，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【解析】（1）时，，∴ ∵ 当时，， 两式相减得：， ∴，∵∴. 数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 因为为等差数列，设公差为，，∴ 又，， ∴ （2）由（1）可得 所以 . 8.（THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2021-2022学年高三月考）已知数列是等差数列，，数列是等比数列，，公比，且，. （1）求，的通项公式； （2）设，，求证：. 【解析】（1）由题意，数列是等差数列，， 数