专题八 函数与导数（大题第二问-零点问题）-2021-2022学年高二数学新教材专题复习（苏教版2019）

专题八 函数与导数（大题第二问--零点问题） 【基础诊断】 已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调性，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点；当，可证得；综合上述情况可证得结论. 【详解】 （1）由题意知：定义域为：且 令， ， 在上单调递减，在上单调递减 在上单调递减 又， ，使得 当时，；时， 即在上单调递增；在上单调递减 则为唯一的极大值点 即：在区间上存在唯一的极大值点. （2）由（1）知：， ①当时，由（1）可知在上单调递增        在上单调递减 又 为在上的唯一零点 ②当时，在上单调递增，在上单调递减 又        在上单调递增，此时，不存在零点 又 ，使得 在上单调递增，在上单调递减 又， 在上恒成立，此时不存在零点 ③当时，单调递减，单调递减 在上单调递减 又， 即，又在上单调递减 在上存在唯一零点 ④当时，， 即在上不存在零点 综上所述：有且仅有个零点 【点睛】 本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 【范例导航】 【考向一】证明（求）零点 1.（2022·安徽合肥·二模（文））已知函数．当时，证明函数在区间上有且仅有一个零点． 【答案】证明见及解析 【解析】 当时，， 则． 在区间上单调递增． ，， ∴存在，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 又，， ∴函数在区间上有且仅有一个零点． 2.（2022·广东梅州·二模）已知.证明：方程在上无实数解 【答案】证明见解析 【解析】 令，，， 因为当时，， 所以在单调递减. 所以， 所以函数在上无零点. 即方程在上无实根. 【真题演练】 1.（2020·浙江·高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数． 证明：函数在上有唯一零点； 【答案】证明见解析 【解析】 （I）[方法一]：单调性+零点存在定理法 在上单调递增， ， 所以由零点存在定理得在上有唯一零点． [方法二]【最优解】：分离常数法    函数在内有唯一零点等价于方程在内有唯一实根，又等价于直线与只有1个交点． 记，由于在内恒成立，所以在内单调递增，故． 因此，当时，直线与只有1个交点． 2.（2021·全国·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. 【详解】 (1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； (2)若选择条件①： 由于，故，则， 而， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于，故，则， 当时，，， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当时，构造函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 注意到，故恒成立，从而有：，此时： ， 当时，， 取，则， 即：， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 3.（2021全国乙卷文科21） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和.