专题五 函数与导数（小题）-2021-2022学年高二数学新教材专题复习（苏教版2019）

专题五 函数与导数（小题） 【基础诊断】 1.（2022·甘肃·二模（理））实数a，，且满足，则a，b，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 不等式变形后，引入新函数，利用二次求导法确定函数的单调性得出间的不等关系，从而得出结论． 【详解】 不等式变形为， 设，， 令()，则, 时，，单调递增， 所以时，，是增函数， 所以，所以． 故选：C． 2.（2021·云南省昆明市第十中学高二阶段练习（理））已知奇函数定义域为R的可导函数，且满足，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 令，依题意可得为偶函数，再求出函数的导函数，可得当时单调递增，当时单调递减，且，即可得到的取值情况，再对分类讨论，分别计算可得； 【详解】 解：令，因为定义域为R的可导奇函数，所以， 即，故为偶函数，且， ，因为， 当时，即，函数单调递增， 当时，即，函数单调递减， 所以当时，，即，所以， 当时，，即，所以， 对于不等式，当，即时，显然无解； 当，即时，，则，即原不等式的解集为； 故选：A 3.（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知直线是曲线的切线，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求得函数的导数，得到方程组，求得，，得到，令，结合导数求得函数的单调性和最大值，即可求解. 【详解】 设直线与曲线的切线点的横坐标为， 由，可得， 则，可得，所以， 由，，则， 令，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，即， 当时，， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 4.（多选2022·浙江浙江·高一期中）已知函数，则下列说法正确的是（       ） A．函数为周期函数 B．函数为偶函数 C．若该函数有且仅有2个零点，则 D．的最小值与有关 【答案】BC 【解析】 【分析】 由的性质和图象可判断A;利用奇偶性定义可判断B;令解得可判断C；由函数由函数的图象和性质可判断D. 【详解】 对于A，由得, 此时函数的图象为焦点在轴对称轴为坐标轴的椭圆的上半部分， ，由知， 此时函数的图象为三角函数在的部分， 可知函数不是周期函数，故A错误； 对于B，，因为，所以, 所以函数为偶函数，故B正确； 对于C，令，解得， 令，解得, 因为，所以当，可得, 所以函数至少有2个零点，故C错误; 对于D，由得, 此时函数的图象为焦点在轴，对称轴为坐标轴的椭圆的上半部分，椭圆的右焦点为，由椭圆性质知到焦点的距离最小时即为右顶点，此时最小值为，所以的最小值为， 当时，的点到的距离的平方大于, 则的最小值与无关，故D正确. 故选:BD. 5.（2022·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式、导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】 解：令、，则、， 在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像， 因为函数的零点为，函数的零点为，所以，， 解方程组， 因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称， 则，，，A、B、D错误， 因为，所以在上单调递增，因为，， 所以，因为点在直线上， 所以，，故C正确， 故选：C． 【点睛】 关键点睛：函数零点转化为两个函数交点的形式利用数形结合思想进行求解是解题的关键． 【范例导航】 【考向一】抽象函数问题 1.（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 运用函数的奇偶性的定义和赋值法，可得结论． 【详解】 解：若为奇函数，则，令，则，即有， 又为偶函数，可得， 令，则； 故选：C． 2.（2022·贵州·模拟预测（理））若是定义在上的偶函数，为奇函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用奇偶性的关系式可推导得到，知周期为，由此可得，结合可得结果. 【详解】 为奇函数，为偶函数，， ，则， 是周期为的周期函数，； 又，. 故选：B. 【真题演练】 1.(2021新高考Ⅱ卷8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知.故选：B. 2.奇函数的定义域为，若为偶函数，且（