专题七 函数与导数（大题第二问-恒成立问题）-2021-2022学年高二数学新教材专题复习（苏教版2019）

专题七 函数与导数（大题第二问--恒成立问题） 【基础诊断】 （2022·山西吕梁·模拟预测（理））已知函数． (1)若，求证：； (2)若对任意正数x恒成立，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）求导，由，得到在上单调递增，且证明； （2）由（1）知时，不成立；将，转化为时，，时，恒成立求解． (1) 证明：因为， 所以． 当时，在上单调递增，且， 当时，；当时，， 所以在上单调递减；所以在上单调递增． 因此． (2) 当时，由（1）知不合题意， 因为，所以当时，，当时，． 当时，， 令，则， 显然在上单调递减． 又因为， 综合，所以，所以， ， 解得． 所以存在唯一实数，使得， 即， 所以． 因为在上单调递减，所以在上，；在上，， 所以在上，（即）单调递增，在上（即）单调递减． 又因为， 若，在上，，在上，，所以在上，单调递增，，所以在上，，不合题意； 若，在上，，所以在上单调递增，又，所以在上，，与题意不符； 若时，在上，，在上，，所以在上，单调递减，在上，单调递减，又，所以在上，，在上，，符合题意． 所以，所以． 【点睛】 方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间D上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；； 【范例导航】 【考向一】已知恒成立问题求参数范围 【题组一】可分参可求最值型 （2022·甘肃兰州·模拟预测（文））已知函数，为自然对数的底数．当时，，求实数a的最大值． 【答案】 【解析】 由，得， 即， 当时，上式成立， 当时，由，得， 令， 则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，， 所以， 所以实数a的最大值为 【真题演练】 [2020·全国Ⅰ卷(理)-T21]已知函数．当时，，求的取值范围． 【解答】解：当时，恒成立， ①当时，不等式恒成立，可得； ②当时，可得恒成立， 设，则， 可设，可得，， 由，可得恒成立，可得在递增，所以， 即恒成立，即在递增，所以， 再令，可得，当时，，在递增； 时，，在递减，所以（2）， 所以，综上可得的取值范围是，． 【题组二】可分参出现型 1.已知函数当时，恒成立，求的取值范围。 分析：本题和上题类型相似，也满足区别是显然上题的解法行不通。 在右侧无限小区域呈现递增趋势，又则在右侧无限小区域图像上点的切线斜率也要呈递增趋势，即解得 （规范过程书写） 【解答】“充分性”当时，令 故在上为增函数， 故在上为增函数， “对立面”当时， 故在上为减函数故在上为减函数，故 不满足题意. 综上: 【真题演练】 [2016·全国新课标Ⅱ卷(文)-T20]已知函数． 若当时，，求的取值范围． 【解答】（1）当时，．（1），即点为，函数的导数，则（1），即函数的切线斜率（1），则曲线在处的切线方程为； （2），，，，，在上单调递增，（1）． ①，（1），在上单调递增，（1），满足题意； ②，存在，，函数在上单调递减，在，上单调递增，由（1），可得存在，，不合题意．综上所述，． 另解：若当时，，可得，即为，由的导数为，由的导数为，函数在递增，可得，则函数在递增，则， 可得恒成立，即有． 【题组三】可分参出现隐零点型 （2022·陕西汉中·二模（理））若时，，求整数m的最大值. 【答案】2 【解析】 【分析】参数分离，构造函数，由函数的单调性即可求解. 时，不等式等价于， 令，则 ， 由（1）得在（0，+∞）上单调递增， 又因为，，所以在上有唯一零点 ，且 ， 当时， ， 当时，   ， 所以的最小值为，由 得 所以，由于，所以， 因为，所以m的最大值为2； 综上，，函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）， m的最大值为2. 【真题演练】 [2012全国I卷（文）新课标—21]设函数． 若，为整数，且当时，，求的最大值． 【解答】解：（1）函数的定义域是，， 若，则，所以函数在上单调递增． 若，则当时，； 当时，； 所以，在单调递减，在上单调递增． （2）由于，所以， 故当时， 等价于① 令，则 由（1）知，当时，函数在上单调递增，而（1），（2）， 所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点，设此零点为，则有当时，；当时，； 所以在上的最小值为． 又由，可得所以， 由于①式等价于，故整数的最大值为2． 【题组四】不可分参可求最值型 1.（2022·四川泸州·三模（理））已知函数．若恒成立，求a的取值范围． 【答案】． 【解析】 【分析】等价于，∵不等式在x≥－1时恒成立，故当x＝0时也恒成立，据此即可求得a≥1﹒然后在证明当时，不等式恒成立即可．证明不等式恒成立时，可利用当时，对不等式