专题六 函数与导数（大题第一问）-2021-2022学年高二数学新教材专题复习（苏教版2019）

专题六 函数与导数（大题第一问） 【基础诊断】 1.（2022·宁夏·银川一中一模（理））已知函数．若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值. 【答案】 【解析】 利用求得，然后结合的单调性求得的极小值. 因为的定义域为， 所以． 由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2， 得，解得a＝1． 此时． 当和时，； 当时，． 所以函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减， 所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值． 2.（2022·山西·二模（文））已知函数.讨论的单调性； 【答案】见解析 【解析】求出导函数，再讨论与的大小，再根据导数的符号，即可得出答案； 解：， 令，则或， 若，， 所以函数在上为增函数； 若， 当或时，，当时，， 所以函数在和上递增，在上递减； 若， 当或时，，当时，， 所以函数在和上递增，在上递减； 综上所述，当时，函数在上为增函数； 当时，函数在和上递增，在上递减； 当时，函数在和上递增，在上递减. 3.（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知函数．讨论函数的极值点个数； 【答案】见解析． 【解析】 求出函数的导数，讨论和，确定导数的正负，确定函数极值点的个数； ， ①当时，，所以在上单调递增，无极值． ②当时，令，得， 当时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 此时只有一个极值点， 综上所述，当时，在上无极值点； 当时，函数在上只有一个极值点． 4.（2022·广东·信宜市第二中学高二阶段练习）设函数，其中． 若是的一个极值点，求； 【答案) 【解析】根据极值点处导数为0即可求解； ， 若是的一个极值点，则， 得， 解得． 当时，，有增有减有极值，显然符合题意， ． 5.（2022·广东·珠海市第一中学高二阶段练习）函数.若恒成立，求a的值； 【答案】 【解析】 （1）依题意由，要使恒成立，需使得为函数的最小值点，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值，即可得解； 解：函数，则， 要使恒成立，需使得为函数的最小值点， 由 ①当时，，此时在R上单调递减，不符合题意； ②当时，令得，令得 ∴在单调递减，在单调递增， ∴时取最小即 ∴ 6.（2022·四川绵阳·三模（理））函数．若函数有2个零点，求实数a的取值范围； 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性和最小值，结合函数图象，由最小值小于即可解得结果； 的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，取得最小值，为， 因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷， 所以要使函数有2个零点，则，解得. 【范例导航】 【考向一】导数几何意义 1.（2022·北京房山·一模）已知函数. 当时，求曲线在处的切线方程. 【答案】 【解析】 当时，， 则， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为 2.（2022·天津三中二模）已知函数， 若函数在处的切线也是函数图象的一条切线，求实数a的值. 【答案】 【解析】 ，在处切线斜率，， 所以切线， 又，设与相切时的切点为， 则斜率， 则切线的方程又可表示为， 由，解之得. 【真题演练】 1.[2020·山东卷-T21]已知函数． 当时，求曲线在点，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； 【解答】解：（1）当时，，，，， 曲线在点，处的切线方程为， 当时，，当时，， 曲线在点，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 2.[2015·全国新课标Ⅰ卷(理)-T21]已知函数，当为何值时，轴为曲线的切线； 解：（1）．设曲线与轴相切于点，，则，， ，解得，．因此当时，轴为曲线的切线. 3.（2021全国乙卷文科21） 已知函数．求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【答案】 和. 【解析】 (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则： 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：, 与联立得， 化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得, ， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 【考向二】单调性 1.（2022·广东茂名·二模）已知函数在点处的切线方程为． 求函数在上的单调区间； 【答案】在，上单调递增，在，上单调递减 【解析】 【分析】根据切线方程，结合导数的几何意义，求出的值，再由导数得出单调区间. 由题意知，即，得， 因为， 所以，得，所以， 当时，令，得，令，得， 当时，令，得，令，得， 所以在，上单调递增，在，上单调递减． 2.（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数． 求函数的单调区间 【答案】的减区间为，增区间为 【解析】 （1）求出函数的定义域，对函