理第19题 立体几何-2022年高三毕业班数学第X题满分练（全国通用）

第19题立体几何 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 线面平行与垂直的证明 高考全国卷每年必有一道立体几何解答题，该题通常有2问，第1问多为位置关系的证明，第2问多为线面角与二面角的计算。在高考中立体几何中等偏易，属于得分题． 2021课标全国Ⅱ19 2020课标全国Ⅰ18 2020课标全国Ⅱ20 2019课标全国Ⅰ18 2019课标全国Ⅱ17 2019课标全国Ⅲ19 ★★★★★ 利用空间向量求线面角或二面角 2021课标全国Ⅰ18 2021课标全国Ⅱ19 2020课标全国Ⅰ18 2020课标全国Ⅱ20 2020课标全国Ⅲ19 2019课标全国Ⅰ18 2019课标全国Ⅱ17 2019课标全国Ⅲ19 ★★★★★ 例题（2021高考全国II）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以 因为，，所以，（3分） 又，所以平面． 所以两两垂直．（4分） 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 所以， ． 由题设（）．（5分） （1）因为， 所以，所以．（7 分） （2）设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则（9分） 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为．（11分） 所以， 此时．（12分） 1．（2022届江西省新余市高三二模）如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为AC，BC，的中点，，G为线段DE上的点且. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值. 2．（2022届山西省高三第二次模）在四棱锥中，AC，BC，CD两两垂直，AC＝BC＝BE＝1，CD＝2，BE//CD． (1)求证：平面ACE⊥平面ADE； (2)求直线BD与平面ACE所成角的正弦值． 3．（2022届河南省五市高三第二次联合调研）如图，在四棱锥中，，，，. (1)记，，，求证：； (2)若，，求二面角的余弦值． 4．（2022届浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月联考）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，∥，. (1)若M为中点，求证：∥平面； (2)若为正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值. 5．（2022届广东省茂名市高三二模）如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径，，为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E，F分别为，的中点． (1)证明：而ABCD； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 6．（2022届内蒙古自治区赤峰市高三模拟）已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 7．（2022届云南省高三第二次统一检测）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点． (1)证明：平面BDF； (2)若，，，，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值． 8．（2022届江苏省南通市基地学校高三下学期第四次大联考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，是正三角形，，E是棱PD的中点． (1)证明：面平面ABCD； (2)若二面角的大小为45°，求的边长． 9．（2022届重庆市高三质量检测）在直角梯形ABCD中，，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使得（如图2）． (1)求证：平面平面EFCD； (2)若直线AC与平面ABFE所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 10．（2022届广东省广州市高三二模）如图，已知四边形是边长为2的菱形，，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值． 11．（2022届海南省文昌中学高三4月段考）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为长方形，PA底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点. (1)若点F在线段BC上运动时，求证：； (2)从下面两个条件中任选一个作为后面的条件补充，条件①：二面角所成的平面角大小为；条件②：直线PC与平面PAB所成角的正切值大小为. 若F为线段BC的中点，且___________（从上面两个条件选一个）求：平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值. 12．（2022届山东省枣庄市高三下学期一模）已知正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过点作出正方体的截面，使得该截面平行于平面． (1)作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由； (2)求与该截面所在平面所成角的正弦值． （截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．） ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $